算数「かけ算の順序」を中心に数学教育を考える

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zoom RSS (1あたり)と(いくつ分)は、常に逆転できるのか?(2)

<<   作成日時 : 2011/02/28 10:25   >>

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4人に3個ずつ蜜柑を配る。蜜柑の数は?

 3×4が正しくて、4×3は誤答であると、順序派は主張する。4人に1個ずつ配るというカード式の解釈を示しても、「その解釈なら正解です」とはなかなか言わない。

 「前の単位と答えの単位が一致しなくてはならない。3(個)×4(人)=12(個)だが、4(人)×3(個)=12(人)となってしまう。」

などと訳の分からないことを言う。このような発言をする人は数学を理解していないと断言できる。正しく単位を付けるなら、「一人あたり3個」だから、

3(個/人)×4(人)=4(人)×3(個/人)=12(個) である。

(1あたり)×(いくつ分)という順序でなくてはならないという間違ったルールを似非ルールAとする。
この似非ルールAをさらに間違った方法で言い換えたのが、「前の単位と答えの単位が一致」というものだが、これを似非ルールBとする。

マイナスの2乗はプラスである。否定命題の否定は元の命題である。しかし、今回の場合、似非ルールAを間違った方法で言い換えた似非ルールBは、やはり間違っている。

似非ルールAを‘正しい方法’で言い換えると、

「答えの単位をP かけ算の後ろ側の単位をQとすると、
かけ算の前の単位はP/Qでなくてはならない」

となる。当然、そんなルールはないのだが、これを似非ルールB(改良型)とする。

4×3を似非ルールB(改良型)に合致するように解釈するにはどうすればいいのか?

カード式で4人に1個ずつ配るという行為を3サイクル繰り返すと考えて、1サイクルごとに4個だから、
4(個/サイクル)×3(サイクル)=12(個)

例えばこんな解釈が可能である。

 しかしおそらく、順序教条派はこんな方法は認めないと思う。彼らにとって「単位」というのは、文章題の中で使われている数字に付いている単位のことであり、4はあくまで4人、3はあくまで3個でなくてはならないのだから。そうすると、長方形の面積を計算しても、長さしか出てこないはずだが、そのあたりはご都合主義で、そうはならないようである。

 つまり、順序教条派は以下のような似非ルールがあると思いこんでいる。

似非ルールA  (1あたり)×(いくつ分)という順序でなくてはならない
似非ルールB  前の単位と答えの単位が一致
似非ルールC  この場合の「単位」というのは文章題に出てきた単位でなくてはならない

 
何でこんなに恣意的な似非ルールを次々と捏造する必要があるのか?
嘘を付き通すために、さらに嘘を重ねているようなものではないか?

と思ってしまうかもしれないが、いずれ解説するがこの様な奇妙なルールが捏造される背景は推測できる。

 で、さすがにこれを全部認めたら、4×3を正当化することはできない。だからここでは、似非ルールAを認めた上で、それを正しく言い換えた似非ルールB(改良型)に違反しないで、「逆順」が正当化できることを示した。
 
4(個/サイクル)×3(サイクル)=12(個)

これで文句を付けようがないと思われる。「配り方が違う」と言われたら、配った後に1個ずつ出してもらって、それを3回繰り返すと解釈してもいい。


しかし残念ながらこのやり方のままでは、密度や速さには適用しにくい。ではどうすればいいのか?


ややこしいかも知れないが、我慢して読んで欲しい。

4人いるのだから、1人あたり1個配ると、4個である。つまり、(1人あたり1個)あたり、4個である。

言葉にするとややこしいが、 

1(個/人) → 4個
2(個/人) → 8個
3(個/人) → 12個

ということである。つまり、「4人」というのを、「1人あたり1個配ると4個必要」と解釈する。

4[個/(個/人)]×3(個/人)=12個


似非ルールB(改良型)
答えの単位をP かけ算の後ろ側の単位をQとすると、
かけ算の前の単位はP/Qでなくてはならない

P=個  Q=個/人 と解釈すれば、似非ルールB(改良型)に合致する。

こんなややこしい解釈をすることの利点は次回に書く。

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http://www18.atwiki.jp/kakezan/
kakezan
2014/05/25 07:47
 「前の単位と答えの単位が一致しなくてはならない。3(個)×4(人)=12(個)だが、4(人)×3(個)=12(人)となってしまう。」

などと訳の分からないことを言う。このような発言をする人は数学を理解していないと断言できる。




これ。。。。

ホントにこのとおりに書いてあったりするのですか???

要出典です。
??????
2014/06/25 10:11

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