算数「かけ算の順序」を中心に数学教育を考える

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zoom RSS (1あたり)と(いくつ分)は、常に逆転できるのか?(4)

<<   作成日時 : 2011/03/02 04:22   >>

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2006年11月15日 朝日新聞「声」
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「妻に叱られた算数の数え方」 (40 歳, 地方公務員)
妻が小二の娘に、文章題の掛け算式の立て方を教えていた。 娘は、四人に五枚ずつ色紙を配るから 「4×5」 と式を立てた。 ところが、妻は 「5×4」 の順序でなければいけないという。 (以下、略)
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2006年11月21日 朝日新聞「声」
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「論理的思考の指導に時間を」 (小学校教員 31 歳)
15 日の 「算数の教え方」 の投稿について一言記したいと思います。
 抑々 4 × 5 には, 4 の五倍という意味があります。 4 人の五倍では答が 20 人になってしまいます。 これでは問題文の内容を理解しているとは言えないのではないでしょうか。 五枚ずつ四人にという文章題に当てはめると、五枚の四倍で答は二十枚、5×4 という式が妥当なわけです。 その文章に応じて式を作ることを、指導していかなければなりません。 (以下、略)
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http://ultramarutti.blog26.fc2.com/?no=595
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確かに、かけ算はかける数とかけられる数を入れ替えても答えは同じになる計算ですから、3×2を「3びきに2こずつ」と解釈しても間違っていないと思います。
「2こずつを3びき」と「3びきに2こずつ」と言っても、意味は通じますからね。

ただ、「×3」という表現に注目してください。
「×3」を「3倍」という言葉で表すと、やはり「2の3倍」の方が「3倍の2」というより自然な感じがしませんか。

だから、確かに答えは同じですが、
2×3=2+2+2 であると解釈したいと思っています。
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「3×4は、3の4倍だから、3が4つ分の意味だ。」という順序派の主張が、最初の頃は理解できなかった。
もちろん、「3×4には、4の3倍の意味もあるではないか!」 というのもあるのだが、「4倍だから何?」とも思った。

しばらくしてから、

(3の4倍)=(3のカタマリが4つ)≠(4のカタマリが3つ) 

というのが順序派の主張であると分かった。

私の場合、「3の4倍」と聞いて、  

3+3+3+3
4+4+4
  
両方のイメージがある。というか、両方のイメージが沸いてこないとまずいと思う。「両方のイメージが沸く」というのも正確ではない。私の場合、両方のイメージとか、どちらか一方のイメージとか、そういうことではなく、「3の4倍」は「3の4倍」という、そういうものとして捉えている。

こう書くと、
http://www.inter-edu.com/forum/read.php?903,1013957,1051510
に跳梁跋扈鵜する順序教条主義派が、「理系の人は意味も考えないで、計算さえできればいいと思っているから困りものだ」などとたわけたことを言いそうだが、

意味を理解して、消化してしまっているので、いちいち意味を意識しないということである。日本語使うときに、いちいち日本語の文法を意識しないようなものである。


ミドリムシが3匹いました。それぞれが2回分裂して4倍になりました。何匹になったでしょう?

3匹が4つ分だから、3+3+3+3
各ミドリムシに着目すると、それぞれが4匹になったのだから、4+4+4

かけ算を〜倍と捉えることで、順序派の思惑とは逆に、かけ算に順序は関係ないことが、理解しやすくなる。

〜倍という捉え方で、包含除、等分除に区別がないことが、より明確になる。

3匹のミドリムシが12匹になった。何倍になったか? 12÷3=4

12は、3がいくつ分か? と捉えれば包含除
1匹のミドリムシが何匹になったのか?と捉えれば、等分除

もう少し一般的に、

Aが5 Bが20 BはAの4倍 というのは、 

Bは、Aが4個分 
Aが1個に対してBは4個に相当する

両方のイメージがある。両方というか、そもそもこの2つを違う物と認識していない。私の意識の中では統一された概念である。

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