算数「かけ算の順序」を中心に数学教育を考える

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zoom RSS (1あたり)と(いくつ分)は、常に逆転できるのか?(5)

<<   作成日時 : 2011/03/02 04:24   >>

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〜倍 が(1あたり)と(いくつ分)、包含除と等分除の区別をなくしてしまうとすれば、割合や比率も同様のはずである。


銅と鉄の合金7sがある。銅の含有率は30% つまり、2.1s が銅である。


■ 合金の質量と、銅の含有率から、銅の質量を求める式

 7×0.3 = 0.3×7 = 2.1   答え 2.1s

◆ 7s の 0.3個分 
◆ 1s あたり 0.3s だから 0.3sが7個分 

どちらの解釈も成り立つ。


■ 合金の質量と銅の質量から、銅の含有率を求める式

   2.1÷7 = 0.3   答え 30%

【包含除的解釈】 2.1s は 7s が 何個分か ?
【等分除的解釈】 合金1s に 銅は 何s含まれているか?


■ 銅の質量と含有率から、合金の質量を求める式

   2.1÷0.3 = 7    答え 7s

【包含除的解釈】 合金1sには銅が0.3s含まれている。銅2.1sは0.3s何個分か?
【等分除的解釈】 合金全体の質量の0.3倍は、2.1sである。合金全体の質量の1倍は何sか?


倍やその拡張である比率・割合は、かけ算・割り算の概念を高度に抽象化したものであり、この概念を獲得すれば、(1あたり)と(いくつ分)、包含除と等分除といった概念は消滅する。「倍」の概念を獲得すると、(1あたり)と(いくつ分)、包含除と等分除といった概念は煩わしいものになってしまう。


前回は、密度などで、(1あたり)と(いくつ分)、包含除と等分除 の両方の解釈が可能なことを、

体積の単位:L を g/(g/L) 

と読み替えることで示した。
この様な読み替えによる解釈は、かけ算の順序について調べたり考えたりするようになって思いついたことである。しかし、それ以前から私自身は、(1あたり)と(いくつ分)、包含除と等分除といった区別はしていなかった。これらの概念は融合されていた。おそらく以下のような解釈が近いと思う。(何せ全く意識していなかったので、はっきりとは覚えていない)


密度8g/Lの気体、3Lの質量は?

密度1g/Lの気体、1Lの質量は、1g  これを基準と考えて、その8倍の3倍 あるいは 3倍の8倍


この解釈は万能であるし、感覚的にも当たり前である。当たり前になっていないなら、かけ算や比率を十分に理解していないことになる。

30円の商品を8個買う

同じ商品を2倍買えば、代金は2倍
商品の個数は同じで、単価が2倍なら、これも代金は2倍


時速4sで3時間歩く

速さを2倍にしたら移動距離も2倍
歩く時間を2倍にしたら、移動距離も2倍

当たり前のことである。


長方形の縦を2倍にしても、横を2倍にしても、面積は2倍である。

a×bの値 は 【aを固定すれば、bに比例】  【bを固定すれば、aに比例】

わざわざ書くようなことではなく、当たり前である。



高校生に化学を教えていて、モルの計算に躓く生徒が多い。

A 分子量24の物質3モルの質量
B 分子量24の物質6モルの質量
C 分子量48の物質3モルの質量

「B も C も Aの2倍」 ということが感覚として身に付いていないようである。

「かけ算の順序」の影響かどうかは、分からない。

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内 容 ニックネーム/日時
http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t21/l50

では「まともな問いかけ(質問)」にはまともに対応せず
(答えずにスルーしているらしい)
掛け算順序批判の仲良しワールドが延々と展開中だ。

ミッキーねずみ
2014/07/01 13:26

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