算数「かけ算の順序」を中心に数学教育を考える

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zoom RSS (1あたり)と(いくつ分)は、常に逆転できるのか?(7)

<<   作成日時 : 2011/03/04 09:22   >>

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14個の蜜柑を4人で分ける。1人あたり3個で、2個あまる。
14個の蜜柑を4個ずつ配る。3人に配って、2個あまる。

14Lの水を4人で分ける。 1人あたり3.5L
14Lの水を4Lずつ分ける。3人に配って、2Lあまる。

このように、連続量では等分除と包含除で答えが違ってくるが、これは等分除と包含除の本質的な違いに由来するのだろうか?


ここで、余りのある割り算について考えてみる。



 余りのある割り算は、かけ算の逆演算にはなっていない。

14÷4=3・・・2

これは、○×4+△=14 あるいは同じことだが(※) 4×○+△=14 

に当てはまる○と△の組のなかで、△が一番小さくなるような組を求めると、
○=3 △=2 となると言うことである。


(※)「前の数字は1あたり、後ろの数字はいくつ分というルールにしておけば、 『3×4、3は1あたり、4はいくつ分、ということです』などと、いちいち言う必要がないので、便利だ、効率がいい、経済的だ」と思う人がいるようである。 「○×4」も「4×○」も同じことだから、本来ならどちらか一方を書けばすむ話である。ところが、ちがう表記にちがう意味を持たせれば、どちらの意味でも構わないというような場合には、誤解を避けるために両方を併記する必要が生じる。煩わしい話である。
 英語の場合、三人称単数で人を表す代名詞は「he」か「she」しかない。だから、性別という情報は得られる。しかし、性別がとくに関係ない状況では、そんな情報はあまり価値がない。また、「3×4と4×3で意味が全く違うと思っている人がいる。その人は、数学を理解していないと言える。」という場合、英語では、「その人」を、わざわざ「he or she」などと表記することになる。


○に入る数が整数値しか許されないから○=3となる。○にはどんな実数も入りうるとすれば、7/2を入れることで△=0にできる。

つまり余りのある割り算は、○に入る数が連続量の場合には不要である。

ここで、○に入る数が、整数値ではないが不連続でとびとびと想定することもできる。例えば、0.3の整数倍としてみる。

そうすると、3.3は0.3の整数倍であり、  3.3×4+0.8=14 となる。

その次の、3.6は、3.6×4−0.4=14 であり、駄目である。
△は0以上でなくてはならないという制約は維持されるとしよう。

 こんな風にすれば、余りのある割り算に関して、概念を拡張できる。また、とびとびの値の間隔を小刻みにしていけば、余りも小さくできる。この刻みの間隔をどんどん小さくした場合が、連続量とも言える。そうすると余りも極端に小さくなり、0とみなしうる。

 こう考えると、余りのある割り算と、余りがない割り算は、概念としてつながっていると捉えることができる。割り切れないときに答えを小数で求めるというのは、まさにこういう考え方である。

 一方で割り切れないときに、7÷3=7/3 として、 「とにかく、7/3というのは、7を3で割ったというそういう数なんだ」と開き直る方法もある。これはまた別のアプローチである。

 「開き直り」だなんて、なんだか騙されたようで、割り切れない話に思うかも知れないが、もちろん、ちゃんと割り切れる。解けない方程式に出会って、「しょうがないから、この方程式の解を新しい表記ででっち上げてしまえ」と開き直って作り上げたのが、分数であり負の数であり、ルートであり虚数である。そうやって数の概念は拡がっていく。


(ところで、「定義と性質はちがう」と言い張る順序派の人は、7/3を、7を3で割った答えと定義するのだろうか?それとも、1/3の7倍と定義するのだろうか?私は、どちらも同じことだとわかっているから、どちらを定義にしても構わないと思っている。だから、いちいち気にしない。順序派の人はいちいち覚えているのか?ご苦労なことである。)


 では、割り切れないときに小数を使ってどんどん小刻みにする方法と、分数を使って開き直る方法は、異なるのか?同じなのか? これは、同じとも言えるし、違うとも言える。

秋刀魚と人間は同じか?、違うか?

脊椎動物という点では共通点が多い。同じとも言える。
しかし、秋刀魚と人間では大きく違うとも言える。

2つの物が同じか、異なるかは、見る視点や、どの程度抽象的に捉えるのか、に依る。


以上を踏まえて、次回、連続量の等分除・包含除に関してさらに検証する。

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