算数「かけ算の順序」を中心に数学教育を考える

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<<   作成日時 : 2011/12/22 07:14   >>

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内 容 ニックネーム/日時
http://www5b.biglobe.ne.jp/~nabe2051/chitekiseikatsu/2011zenhan.htm
▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽
≪09月09日 金曜日≫
 久しぶりにある掲示板を覗いてみたら、まさに迷惑メールのごとく執拗に送信されている記事をみました。それは『かけ算には順序があるのか』という本に関わることです。もう35年位前の論議の蒸し返しなのですが、どうも数学者や高校教師の中でワイワイやられているのです。そこで問題になっているのが「数式の意味の問題とバツの話の混同が行われていると思います」という文面です。元小学校教師から見れば、「まさにその通り」だと思いますし、小学校の現場の教師を含めないところで、「数式の意味の問題とバツの話の混同」という指摘が「ピントはずれだ」とかどうのこうのと言ったところで、全く生産的でないと思うのです。「バツの話」は、授業での目標やテストの位置づけに関わる教育学的なことだからです。
積分定数
2011/12/22 13:38

 ここで、ふと思うのですが、この批判を繰り返されている方は「数教協会員は、すべて同じ数学観に染まっている。だから、例えば、瀬山さんの発言は、数教協の見解を代弁している」ととらえてみえるらしいが、数教協会員にもいろんな考え方の方がいらっしゃいますよ。ひとつではありませんし、ひとつでなければならないこともないと思います。 また、「数教協が日本の算数教育界をリードしているかのごとく高く評価してみえるのは、うれしいことですが、小学校の現場では、明らかに少数派です」。算数について、ちょっとでも考えている人ならば、「バツ」はつけないでしょうが、何も考えもせず、「バツ」をつけている人は 指摘されているようにいます。
 ですから、この批判を繰り返されている方には、「教師は、しっかり教材研究をしろ」「授業の質を高めろ」と大いに叫んでもらいたいです。どうも、かつての向山洋一と同じで、批判の矛先が違っているのではないかと思います。これだから、日本の算数教育は、よくならないのです。日本の子どもたちの思考力は向上しないのです。
△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△

私のコメントのことを指していることは明らか。
積分定数
2011/12/22 13:39
わかりやすいように、関連するコメントを貼り付ける

http://9114.teacup.com/seisann/bbs?page=2&
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「かけ算には順序があるか」書評 投稿者:ひろ 投稿日:2011年 7月11日(月)20時04分4秒   通報 返信・引用
朝日の7/10(日)の書評欄に福岡伸一の見出しの本の書評が載っている。
遠山啓、森毅を登場させて揶揄する印象を感じたのが率直なところ。
瀬山さんのhpにこの書評への明解なコメントが出ています。
気になる方はご覧下さい。
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Re: 「かけ算には順序があるか」書評 投稿者:あ|き|ま|つ 投稿日:2011年 7月13日(水)16時00分2秒 返信・引用
「コメント」をみつけられませんでした。
この本はみていないのですが、Twitter などでよく見るのが、
かけ算の順序を逆に書いて×にされたのは不当だ」というはなしで、
かけ算の意味とは別のことになっています。
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積分定数
2011/12/22 13:49
Re: 「かけ算には順序があるか」書評 投稿者:ひろ 投稿日:2011年 7月13日(水)20時44分33秒 返信・引用
> No.595[元記事へ]

瀬山さんのHPは
http://homepage2.nifty.com/seyama/
からですが、サークルのリンク集にあります。コメントは
その中の「雑学談話室」の
「ある数学教育論争」  です。
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積分定数
2011/12/22 13:49
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かけ算の順序 投稿者:積分定数 投稿日:2011年 7月30日(土)00時32分13秒 返信・引用
 初めまして、数年前に「算数で、かけ算の順序を逆にするとバツになる」というのを知り驚いて色々調べている者です。

 「かけ算の意味を理解させるためには順序を正しく書かせることが必要」という意見も聞くのですが、調べてみると、長方形の面積で横×縦にしてバツになった例などもあり、かけ算の理解とは関係なく、とにかく「正しい順序」なるものを教え込むような授業が行われているようです。これについて、皆さんはどうお考えでしょうか?

2×8ならタコ2本足
http://www.asahi.com/edu/student/teacher/TKY201101160133.html

警官は追い「かける」、泥棒は追い「かけられる」
http://www.eonet.ne.jp/~mnzbo645/kakekakerare.htm

長方形の面積を横×縦でもとめると減点
http://suugaku.at.webry.info/201102/article_7.html

「5×7のしきになるもんだいに、○をつけましょう」
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q121569682
http://suugaku.at.webry.info/
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積分定数
2011/12/22 13:54
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Re: かけ算の順序 投稿者:ひろ 投稿日:2011年 7月30日(土)21時07分51秒 返信・引用
> No.605[元記事へ]

すでに
あきまつさんが指摘の通りで、数式の意味の問題とばつの話の混同がおこなわれているとおもいます。
この点に興味を持たれた方は前に紹介しましたが瀬山さんのhpをご覧下さい。
ちなみに かけざんの立式で 任意の数×変数 という意味づけが紹介されていることもこの×問題で初めて知りました。
そしてベストアンサーになっていることも・・・・
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Re: かけ算の順序 投稿者:積分定数 投稿日:2011年 7月30日(土)22時39分38秒 返信・引用
> No.608[元記事へ]

ひろさんへのお返事です。

> すでに
> あきまつさんが指摘の通りで、数式の意味の問題とばつの話の混同がおこなわれているとおもいます。

誰が混同しているという話なのかよく分かりませんが、ネット上で色々議論になって混同や混乱や誤解もあるかと思いますが、

そのような議論はさておき、私がお聞きしたいのは、

かけ算の順序に拘らせる指導が蔓延しているように見える。極端な例としては、長方形の面積を横×縦でバツ、というものまである。それに関して皆さんはどうお考えでしょうか?

ということです。
http://suugaku.at.webry.info/
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積分定数
2011/12/22 13:55
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質問再掲 投稿者:積分定数 投稿日:2011年 8月18日(木)08時01分8秒 返信・引用
私の質問に特に回答はないようですね。

長方形の面積を横×縦にするとバツにするような授業が現実にあるのです。そういうことに私は憤りを感じるのですが、皆さんは特に何も感じないのでしょうか?

>数式の意味の問題とばつの話の混同がおこなわれているとおもいます

「数式の意味の問題とばつの話の混同」とは具体的にどういうことでしょうか?誰が「混同」しているのでしょうか?私が?

>長方形の面積で横×縦にしてバツになった例などもあり、かけ算の理解とは関係なく、とにかく「正しい順序」なるものを教え込むような授業が行われているようです。これについて、皆さんはどうお考えでしょうか?

への回答としては、余りにも見当違いなように思えるのですが・・・
http://suugaku.at.webry.info/
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積分定数
2011/12/22 13:56
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ひろさんへの質問です 投稿者:積分定数 投稿日:2011年 9月 8日(木)09時22分18秒 返信・引用
■「かけ算の順序に異様に拘る授業が行われている現状がありますが、どう思いますか?」という問いかけに対して、「すでにあきまつさんが指摘の通りで、数式の意味の問題とばつの話の混同がおこなわれているとおもいます。」というのは全くピントはずれな回答だと思いますが、どうでしょうか?これが私の質問の回答になり得ているとお考えでしょうか?

■>そしてベストアンサーになっていることも・・・・とのことですね。

ある数学教育論争
http://homepage2.nifty.com/seyama/zatu.html

>「いま、小学校では」という書き出しなので、日本中の小学校でそう教えているような気持ちになるが、これは事実とは異なるのではないかと思う。少なくとも私の知っている教員で、この式に無条件でバツをつける人はいない。

これについて瀬山氏にメールで確認したところ、文字通り「少なくとも私の知っている教員で、この式に無条件でバツをつける人はいない。」ということで、一般的にどうなのかは知らないという回答でした。「全ての教師が無条件にバツを付ける」を否定するには、「バツを付けない教師が少なくとも1人はいる」ことを示せば良いわけですが、一般的な算数指導のあり方を議論しているときに、「私の知っている教師」の例を挙げても余り意味はありません。「6と12と18は全て偶数である。だから3の倍数は全て偶数である」と言っているようなものです。これに関しては、私のメールによって、「追記」がなされました。
積分定数
2011/12/22 13:57


>じつは設問にもいささかの仕掛けがある。普通このような問題は最初は「6人に4個ずつミカンを配りました。ミカンは全部で何個になりますか」という形で問われるのではないだろうか。どうも設問が結論(かけ算に順序はない)を誘導するようにできていると思われる。


これに関してもさも著者が自説に誘導するように、このような問題文にしたかのように書いてありますが学校図書算数2年下に以下の問題があります。

「おはじきを1人に7こずつくばります。8人にくばるには、ぜんぶで何こいるでしょうか。」

漢字かひらがなか、「必要」か「いる」の違いはあれど本質的には同じ問題です。瀬山氏は一体何を勘ぐっているのだろうかと疑問に思いました。これに関してもメールしたところ、
「私もいささか不用意な発言だったと反省しています」と返信がありました。しかし、本文はまだそのままです。
積分定数
2011/12/22 13:58


>6×4を正当化するために乗法の交換法則を持ち出すのは、方向違いだと思う。それは多次元量の正比例を考えればすぐに分かることである。交換法則は意味のある数値に適用することはできない。交換するとすれば、意味まで含めて交換する必要があると思います。

多次元量の正比例とは、行列のことを言っているのだろうか?それで「すぐに分かる」のだろうか?なぜ小学校の算数に行列の話が出てくるのか?行列でも、1行1列の行列、対角行列は可換である。わたしには「すぐに分かる」どころかサッパリ分かりません。
「交換法則は意味のある数値に適用することはできない。」というルールは誰が決めたのか?それとも、意味のある数値に適応できない、交換すると数値が異なる具体的事例があるということなのか?サッパリ分からない。

このように瀬山氏の文は一部ご本人も「迂闊な軽率な書き方をして反省しております。」「私もいささか不用意な発言だったと反省しています」と認めている文章であり、それ以外にも疑問な点があります。

ひろさんが、瀬山氏の文を「ベストアンサー」と評する根拠をお聞かせ下さい。
http://suugaku.at.webry.info/
---------------------------------------------------
積分定数
2011/12/22 13:58
>「数式の意味の問題とバツの話の混同」という指摘が「ピントはずれだ」とかどうのこうのと言ったところで、全く生産的でないと思うのです。

「かけ算の順序にいように拘る授業がなされていることに関してどう思いますか?」への回答が、「あきまつさんが指摘の通りで、数式の意味の問題とばつの話の混同がおこなわれているとおもいます。」というのはピントはずれといっているのだが
積分定数
2011/12/22 14:00
>ここで、ふと思うのですが、この批判を繰り返されている方は「数教協会員は、すべて同じ数学観に染まっている。だから、例えば、瀬山さんの発言は、数教協の見解を代弁している」ととらえてみえるらしいが、

瀬山氏の発言を「ベストアンサー」と評したことについて、瀬山氏の発言にはこういう不備な面があるがなぜ「ベストアンサーなのか?」と質問しているだけだが。

 何でこういう発想になるのだろうか?
積分定数
2011/12/22 14:03
>ですから、この批判を繰り返されている方には
>批判の矛先が違っているのではないかと思います。

私はかけ算の順序に異様に拘る授業を批判しているがそのことを言っているのだろうか?
まさかあの掲示板へのコメントが「批判」なんだろうか?
私は、「こういう授業があるようですが皆さんはどう思いますか?」と質問しているだけだが
積分定数
2011/12/22 14:06
>ですから、この批判を繰り返されている方には、「教師は、しっかり教材研究をしろ」「授業の質を高めろ」と大いに叫んでもらいたいです。

「掛け算の正しい順序教育」が、そんなことで無くなると思っているのだろうか?
教師用の指導書や市販の算数教育研究本に「掛け算の正しい順序教育」が書いてあるのに・・・。
おおくぼ
2011/12/22 15:40
>算数について、ちょっとでも考えている人ならば、「バツ」はつけないでしょうが、何も考えもせず、「バツ」をつけている人は 指摘されているようにいます。

本当?
おおくぼ
2011/12/22 15:42
どうも話がずれちゃっていますよね。「何も考えもせず、『バツ』をつけている人」が多数いるようで、「なんじゃそりゃ?そりゃおかしいんじゃないの?」という話で議論になっているわけで、

数教協のスタンスが今ひとつ見えないんだけど、一枚岩でなくて色んな考えがあるとして、「俺は無条件にバツにするのは反対だ」とか色々意見があるならそれを言えばいいだけでのこと。

 何勘違いしているんだろうね?

 数教協が糾弾されてると思っているのかな?無関心に見えたり、順序が蔓延することに与しているのでは?という疑問はあるが・・・
積分定数
2011/12/22 16:18
>もう35年位前の論議の蒸し返しなのですが、どうも数学者や高校教師の中でワイワイやられているのです

「蒸し返し」ってことはこの人の中では決着済みなんだろうか?

「小学校の現場の教師を含めないところで、」って、小学校教師を排除しているわけじゃなくてここで自由にどんどん意見を意って欲しいんだけど。

 実際、私は素人だからわかんないことだらけで、調べた中で推測で言っているから、「そこは違う」とかあれば指摘してくれればいいのに。

>これだから、日本の算数教育は、よくならないのです。日本の子どもたちの思考力は向上しないのです。

論理の飛躍だと思うが

「日教組が日本の教育を駄目にした」ってのとあまり変わらないように見える。
積分定数
2011/12/22 16:24
>ですから、この批判を繰り返されている方には、「教師は、しっかり教材研究をしろ」「授業の質を高めろ」と大いに叫んでもらいたいです。

例えば、遠山啓さんはそんなこと叫んだのだろうか?
遠山啓さんの功績は、既製の数学教育に対する具体的な分析&批判だったと思うんだけど。
外野席から「しっかり教材研究をしろ」「授業の質を高めろ」と大いに叫ぶのは簡単だと思う。
おおくぼ
2011/12/22 17:26
遠山啓さんの活動が大きな成果を得た理由の一つは、戦後の混乱期だったことがあると思う。
おおくぼ
2011/12/22 20:38
>小学校の現場の教師を含めないところで、「数式の意味の問題とバツの話の混同」という指摘が「ピントはずれだ」とかどうのこうのと言ったところで、全く生産的でないと思うのです。「バツの話」は、授業での目標やテストの位置づけに関わる教育学的なことだからです。

誰でもいいけど、「掛け算の正しい順序教育」が具体的にどうおかしいかをネットなどの誰でも閲覧できる場所で指摘して、小学校関係者がその指摘を吟味すればいいだけのことだと思う。
おおくぼ
2011/12/22 20:50
補足

ネットで「掛け算の正しい順序教育」の間違いを指摘する。→ 小学校関係者が閲覧して検討する。→ 全国の小学校に広がる。

発言小町もその一つだと思う。
遠山啓さんの時代にはネットがなかったのだから、教育改革者にとって遠山啓さんよりもかなり有利な状況だと思う。
おおくぼ
2011/12/22 20:57
 そういう意味では団体とか組織の存在意義って薄れていると思う。ここにしても互いに素性をよく知らない人たちがああだこうだと議論する。それでまたそれぞれが考える。

 そういうことでいいと思うが。組織があることで人脈とかしがらみもできて、自由に議論できないこともあると思う。全ての組織がというということではないがそういうことがありがち。

 数学教育であれば、俺はこう考えているからこういう教え方には反対だとか、俺はこうしてみたらこううまくいったとか、こうしたら失敗したとか、そういうのをネット上でやりとりすることが可能だと思う。
 
 もちろんネットではできないこと、直にあって酒飲んで議論するなんて事もあっていいが、ネットで誰もが見られる場所で、議論するのも意味があると思う。

 営利目的とか企業機密とか関係なくて、子どもに算数・数学を好きになって欲しいということなんだから、組織とか関係なく、不特定多数、色んな立場の人が議論に参加すればいい。

 この人もここに参戦すればいいのに。
積分定数
2011/12/22 21:12
>「数式の意味の問題とバツの話の混同」

「あなたは現実と算数を混同しています」
 (↑ kikulog より)

「×は考え方の否定ではない」
 (↑ 発言小町より)
ゴルゴ・サーディーン
2011/12/22 22:44
もうひとつ、これを忘れるわけには行きません。

「内包量・外延量は、高校物理にたいしては一筋縄
 では行かないが、それでもこの理論の有効性は揺
 らがないと、決然と言われた。」
ゴルゴ・サーディーン
2011/12/23 01:42
>「内包量・外延量は、高校物理にたいしては一筋縄では行かないが、それでもこの理論の有効性は揺らがないと、決然と言われた。」

オマジナイと同じで、「効果があると信じれば効果がある」というレベルでは?
「一筋縄ではいけない」というのは、使い辛い道具ということです。
そんな道具を使う必要はないと思う。
数教協は「現実」を「量の体系」という言葉で説明しようとするけど、失敗していると思う。
以前、釈迦に説法さんが紹介してくれた「次元」に関する主張も、その一つだと思う。
縦の長さ×横の長さ=面積は、「同じ単位の数」と「同じ単位の数」を掛けることで、「別の単位の数」ができる。
このことを「新しい次元の量」ができるとか「新しい世界」ができると言っているんだと思う。
でも、これはベクトルやスカラーと関係ない。

>逆に、「数」は単位量との比を取っているから常に「無次元」であり、したがって掛け算をしても「同じ世界」に止まっている。この区別ができて(デカルトによる)初めて文字式の四則演算が可能になった。

この場合の「量と数の区別」はかなり限定されていると思う。
自分に都合のいい例だけを想定して、一般論を述べるのは誤解されると思う。
数教協の「量の体系」は、そんな感じがする。
おおくぼ
2011/12/23 05:44
訂正というか、補足。
前の自分のコメント ↓

>縦の長さ×横の長さ=面積は、「同じ単位の数」と「同じ単位の数」を掛けることで、「別の単位の数」ができる。

すいません。こういう主張ではありませんでした。

釈迦に説法さんの紹介してくれた文章 ↓

> 乗法・除法 代数系としては同じ可換群であっても、量として考えるとき加法と乗法は全く違う。加減法が同じ次元内での演算であるのに対し、乗法・除法は違う次元の量を掛けたり割ったりして、また新たな次元の量を作る(長さ×長さ=面積、道のり(長さ)÷時間=速度)。つまり乗法や除法はそれを繰り返すことでどんどん新たな世界を創っていくのである18。一方、同じ次元の量の比(ratio)をとることで無次元の量(スカラー)が得られ、逆に2 倍、3 倍というように無次元の量をかけて(スカラー倍)同じ次元の量を作ることもできる。

この主張に関してはzoroiさんや積分定数さんが的確に批判しているので、混ぜっ返してすいません。
おおくぼ
2011/12/23 06:17
追記

デカルトについて調べていたら、自分も「次元」という言葉を混乱してしまいました。

>この区別ができて(デカルトによる)初めて文字式の四則演算が可能になった。

「この区別」がよく理解できなかったんで。
おおくぼ
2011/12/23 06:28
黒木さんがツイッターで仮分数と帯分数について書いている。

物理で、同位相の2つの波の干渉で相殺する場合は、波源からの距離の差が(n+1/2)λのとき。

n+1/2をn1/2とは書けない。

大学時代、中学生に家庭教師をしていて、−31/2という表記が出てきた。あのころ、中学でも帯分数があったのだろうか?で私はこれが、−3+1/2の意味なのか、−(3+1/2)の意味なのかが分からなくて、混乱してしまった。

2√3は、2×√3の意味。2+√3ではない。帯分数の表記法は混乱を招きやすいと思う。

 無理数の「分母の有理化」というのも、√2=1.41としたら、1/√2は?というのを、1÷1.41よりも、1.41÷2の方が計算しやすいという話で、「分母に根号が来てはならない」というルールがあるわけではない。場合によっては、分子の有理化が必要な場合もある。
分母を有理化しないとならないなら、相対論に出てくる式なんか大変だ。

 初歩的段階では、簡単なものしか扱わないので、分母の有理化だの「2種類以上の文字の積はアルファベット順」などを徹底することは可能。

 それを「絶対的ルール」だと思ってしまうと後になるほど大変になる。

「分母に根号が来てはならない」
「√a+√b=√(a+b)は一般には成り立たない」

を同レベルのルールと捉えている生徒が多いが、両者はルールとしてのレベルが違う。
 

積分定数
2011/12/23 21:15
 文字式はアルファベット順というのは、同類項を見落とさないための方法なのかもしれない。

 ローカルルールにも、何らかの理由がある場合がある。ところがときとしてこの理由が忘れ去られ暴走する。

 塾で教えていても、「先生の採点基準が分からないから講師他方が無難かも知れない」と教えざるを得ない。

 ローカルルールはますます強固になる。

「順序を逆にすると私立受験でバツになるかも」とか。
積分定数
2011/12/23 22:02
 私が納得できないのは、「f(x)の最小値を求めよ」という問題で、「x=3のとき最小値4」などという模範解答。「4」だけでいいはず。最小値をとるときの値も回答に必要なら問題にその旨を書くべき。

 xが正のときの、x+1/x最小値

この場合、

相加相乗で2≦x+1/x よって最小値2

は減点になる。2以上であるというだけで、最小値が2とは言えない。x=1のときに実際に2になることを示さないとならない。

 x^2+1/x^2の最小値の場合

2≦x^2+1/x^2 x=1のときx^2+1/x^2=2
よって最小値2

でいい。x=−1のときも最小値になるがそれをいうひつようはない。「2以上である。2になるxが存在する。」だけ述べれば、最小値2としていい。

 しかし、最小値になるxを書かなくても言い場合と書かなくてはならない場合を判断するのは難しい。だから、問題文に「最小値を求めよ」としかなくても、一律にそのときのxも書かせるようにしよう。

という小さな親切が大きなお世話。

θが0〜2πの範囲を動くとき

sinθ+√3cosθの最大値、最小値を求めよ。

2sin(θ+Φ)と変形できてぐるっと一周するから最大値2、最小値−2、そのときのθはΦを求めて・・・めんどくせ〜

θに制限がなく実数値なら、最大値・最小値をとるΦを一般角で表示しないとならない。

2sinθ+3cosθ だと arcsinなども使わないとならない。

あほらしい。
 
積分定数
2011/12/23 22:17
「ローカルルールの定理」

ローカルルールは以下の過程を経て発展する。

初期段階、些細な理由、ときとして「子どもへの配慮」ということで、ルールが導入される。

理由は忘れ去られルールが一人歩きする。

学校のテスト/中学/高校/大学受験で、減点されるリスクを考慮したらローカルルールにしたがった方が無難だから、納得できなくても従っておこうとなる。

 扱う対象が複雑になり、当初のローカルルールを貫くことに多大な労力が費やされることになっても、もはや後戻りできない。
積分定数
2011/12/23 22:22
 しかし、アルファベット順も分母の有理化も「守ることが可能なローカルルール」である。

 かけ算の順序は、そもそも(1あたり)と(いくつ分)は解釈次第で入れ替わるので、「教師が意図した順序」を推測せざるを得ない。

5人家族が各自1日1個林檎を食べる。3日間でこの家族は何個の林檎を食べたか?

「先生はどちらを1あたりとするだろか?」と悩むことになる。
積分定数
2011/12/23 22:25
僕がうけた中等教育での要求は美しく並べろという抽象的なやつで、ab + bc + caの方が、ab + ac + bcより好まれていた(同然どちらでもよい前提の好み)と思いますが、最近は、アルファベットがそんなに大事になったんですか?
TN
2011/12/23 22:37
私もab + bc + caの方が綺麗だと思う。

アルファベット順は昔から言う人はいたし、最近特に強くなったわけでもないみたい。ただ教師によっては、細かいところで難癖付けてバツにする人はいる見たい。

 「5角形」 は誤りで 「五角形」じゃないから減点とか、あれ、逆だったかな?

 そういう重箱の隅をつつく教師というのは、一定数いるようです。
積分定数
2011/12/23 23:53
「ニュース2ちゃんねる」でも「掛け算の正しい順序」が話題になりました。

http://news020.blog13.fc2.com/blog-entry-2016.html

アドレス先のコメント欄は二段になっています(下にもあります)。
賛否両論ですね。
おおくぼ
2011/12/24 01:09
「オレ的ゲーム速報@刃」でも取り上げられています。

http://jin115.com/archives/51835155.html

これもコメント欄は二段になっています。
コメント欄の下に、もう一つコメント欄があります。
閲覧する時は、下のコメント欄にも注目して下さい。
おおくぼ
2011/12/24 01:18
「痛いニュース」でも取り上げられています。

http://blog.livedoor.jp/dqnplus/archives/1685874.html

今日は凄い。
おおくぼ
2011/12/24 01:24
「痛いニュース」のコメントが三千超えている。
これで2ちゃん住人にも、「掛け算の正しい順序教育」論争が常識になるだろう。
もしNHKのニュースで取り上げられれば、日本全国が凄いことになると思う。
おおくぼ
2011/12/24 07:21
2ちゃんねるは過去に数学板で長方形の面積が横×縦でバツが話題になったことがあります。
http://suugaku.at.webry.info/201102/article_7.html

お台場デモみたいのでもあれば、ニュースになるのでしょうがね。
積分定数
2011/12/24 07:46
log103の値が与えられているのに、
3^33の桁数を手計算で求めているのには笑った。バツは付けられないよね。対数を使わせたかったら、3^1000とでもすればいいが、そうすると近似値の精度を上げないとならないかな。


「かけ算の順序は日教組の教研集会でも推奨されています」とでも燃料投下したら、ネットウヨは大喜びだろうな。
積分定数
2011/12/24 08:17
http://blogs.itmedia.co.jp/magic/2011/12/6886-2d5b.html
一小学校教師 2011/12/24 08:53
現役小学校教師です。
以前、同僚の教師とこの件でもめたことがあります。
子どもたちは、計算のきまりとして「a×b=b×a]
ということを学習しています。
具体物を抽象化して考えるための算数なのに、計算
の中に具体物の考えを取り入れて、その通りではな
いと不正解になってしまうことに大変な違和感を感
じます。
私はまだまだ駆け出しの教師ですが、学年主任の先
生をはじめ、他の若い教師もこの例の教師と同じ考
えで、正直ショックでした。
これで不正解とされた
子どもは、数学的に間違っていないことを不正解と
されたことに疑問を感じても、教師側の勝手な言い
分でいいくるめられてしまいます。
数学的に間違っていないのなら、それにバツをつけ
ることにためらいを感じないのかな?と思います。
教師のくせに、まとまらない文章ですいません。
ただ、タイムリーな話題についてのサイトを偶然
発見したので、何か意見せずにはいられませんで
した。



こういう教師がいて安心した。こういう人が孤立しないようにするにはどうすればいいのだろうか?
積分定数
2011/12/24 10:03
>ab + bc + caの方が、ab + ac + bcより好まれていた

私が教えられた時は
 「原則はアルファベット順」
 「ただし、循環している物は、循環している様に書く、
  その方が優先」
でした。
ゴルゴ・サーディーン
2011/12/24 23:30
>ab + bc + caの方が、ab + ac + bcより好まれていた


輪環の順ですから、そのように書く慣習でしょう。

外積とか、レビ チビタ の記号とかやると、その順に書くのが綺麗だと思うようになりますね。

レビ なのか レヴィ なのか チビタ なのか ティビタ なのか、そっちのほうが気になって仕方なかったですが。

外国人の名前を無理やりカタカナで書くのはやめたほうがいいかもしれません。しかし、ホーチミンを胡志明(だったか?)とか書くのもどうも分かりにくい。

鰹節猫吉
2011/12/25 00:53
>外国人の名前を無理やりカタカナで書くのはやめたほうがいいかもしれません。

『怖いくらい通じるカタカナ英語の法則』 (講談社ブルーバックス新書: 池谷裕二:著)という本がありますが、読むとカタカナ表記の難しさがわかります。
でも縦書きだとアルファベットは読みにくいです。
日本語のカタカナ表記は、和製外来語(擬似外来語?)だったり、ラテン語読みだったり、アルファベットをローマ字の法則で読んだりといろんな規則が入り交じっていて、外国人から理解するのが困難みたいです。
おおくぼ
2011/12/25 01:40
外国人のカタカナ表記で思い出した。

教科書や学校では、「カール=マルクス」の表記が正しくて、「カール・マルクス」は間違いとされてるというので、世間一般と学校での約束にズレがあるというのをテレビでやっていた。今どうなっているのか知らない。

 読点カンマ問題ってのもある。
学校都市伝説 「横書きの読点はコンマ」
http://suugaku.at.webry.info/201102/article_10.html 
積分定数
2011/12/25 07:14
 小学校の算数で、大きな数についてやったときに、「,」は4桁毎に入れると習った。万、兆、京、と読みが対応するのでなるほど便利だと思った。

 でも世間では、3桁毎に入っているので、「あれ?」と思った。英語圏の数字の読みには便利なんだと後から知った。

 清水義範と西原理恵子が、学校の各科目をネタにした本を出していて、その一つの「いやでも楽しめる算数」に確か書いてあったが、今は特に学校でどう教えるかは決まっていないという。昔は、「4桁ごと」と教えていたが実情と合わなくなったのだろうか?

 4桁毎の方が便利だと思う。「英語圏の人にも分かるように」って言うのもよく分からない。次の文章がそもそも日本語なんだから。

 本多勝一は頑なに3桁ごとに表記しているが、今更むりだろう。

 不動産屋のチラシでは、4.2万円 などという表記もある。使い勝手が良いように工夫すると言うこと。
積分定数
2011/12/25 07:41
 ミクシィの某所で、(1あたり量)に拘ることの弊害が話題になっている。3時間で120q、6時間では?これを120×2=240とするとバツになるというのを聞いたときに唖然としたが、(1あたり量)を求めていないということかもしれない。(1あたり量)って、単位当たりでなくても、「3時間あたり120q」でも良いと思うが、そういうようには解釈しない人がいるのかもしれない。

 世間では、例えば肉屋に行けば、豚コマ100g120円とか、という具合になっている。1g1円20銭とは書いていない。

 3時間で120q、6時間では? を 「120÷3=40 40×6=240」と計算するように指導する人は

100g120円の豚コマ、300g買うときに、120÷100=1.2 1.2×300=360 360円
と計算するのだろうか?
積分定数
2011/12/25 07:42
戯れ言の改案を考えてみました。
誰も見てないかもしれませんが、せっかくなので書き込みます。

左側に「基準量(結果と同一単位のもの)」、右側に「いくつ分」を単位付きで書く記号、例えば☆を創ります。
「3つの皿にりんごが2個ずつあります。りんごの総数を求める式は何か」という問題からは、
「2個☆3皿」になります。
かけ算にすると「2個☆3皿」→「2×3」=「3×2」です。
各皿からりんごを1個ずつ取り出す。これを2回行う、と考えた場合は、
「3個☆2回」になります。

これなら順序派がやりたがっているらしい、式から何を考えているかを読み取る事が出来そうです。
「1つあたり」という曖昧な考えもなくなり、かけ算導入時にはいい考えのような気がします。

>これは,順序ルールはローカルルールに過ぎないことを明確にする点では,良いアイデアですが,どちらを一つあたりと考えるという問題は残りますね。

この問題も解決しますよね。
TaKu
2011/12/25 10:29
『いやでも楽しめる算数 』(講談社文庫) 清水義範(文)&西原理恵子 (漫画):著で、後半にある「文章題が嫌いだった」という話が好きです。
どうして数学嫌いになるかをわかりやすく説明しています。
西原理恵子さんの漫画はおもしろく、かつ人生の勉強になります。
清水義範さんの本では『国語入試問題必勝法』 (講談社文庫)
や『ことばの国』 (集英社文庫) という抱腹絶倒な短篇集があります。
「国語入試問題必勝法」に出てくる「英語の起源は日本語である」説は笑ったけど、「と学会」の「トンデモ本ハンター・シリーズ」で似た主張の本が紹介されていたので驚きました。
あと戦時中の外来語統制のパラディで、英語圏と中国語圏と戦争したら、日本語はどうなるのだろう?という話など笑えて勉強になります。



私のようなゴリゴリの反順序派にはTaKuさんの提案に魅力を感じません。
けれど、TaKuさんの提案を順序派の人達がどう反応するかには興味があります。
おおくぼ
2011/12/25 11:51
>この問題も解決しますよね。

この問題は解決しますか?

【1】1箱に
  「最中、大福、酒饅頭、黄金芋、草餅」
  が1個ずつ入ったセットが4セットあるとき
  お菓子は全部で何個ですか?

【2】ウサギが3羽いるとき、耳は全部で何個ですか?
ゴルゴ・サーディーン
2011/12/25 11:54
>本多勝一は頑なに3桁ごとに表記しているが、今更むりだろう。

本多勝一は頑なに“4桁こと”

積分定数
2011/12/25 12:29
>これなら順序派がやりたがっているらしい、式から何を考えているかを読み取る事が出来そうです。

いっそ、問題文の要約を書くとか・・・

>「国語入試問題必勝法」に出てくる「英語の起源は日本語である」説は笑ったけど、「と学会」の「トンデモ本ハンター・シリーズ」で似た主張の本が紹介されていたので驚きました。

言語学の入門書を読んでいたら、某大御所の日本語タミル語起源説は、専門家の間では問題にもされてなかったとのこと。問題にもされないので、「反論がない」ということで、・・・

 といっても、専門家がどれだけ正しいのかは分からないですが。

 数学教育の専門家は間違っている

と私は思っています。
積分定数
2011/12/25 12:35
前から気になっているのは、国語と数学の採点基準の違いです。
1 国語も数学も科学ではない(理科や歴史とは根拠が違う)。
2 日本では国語も数学も日本語で教育する(数学を母国語で教えない国もあります)。
3 国語は日本の習慣を根拠にできるけど、数学は?

でも日本語は、日本の習慣を根拠しながら、理屈を外国人に説明できないといけないので厄介な感じがする。
『日本人の知らない日本語 』蛇蔵&海野凪子:著は漫画で日本語を外国人に教える難しさを教えてくれる好著です。
明治以後、和算ではなく洋算が日本の公式数学となりましたが、いろいろ揉めたみたいです。
おおくぼ
2011/12/25 13:05
(黒木玄さん以外の)数学者や数学教育の専門家は、「掛け算の順序教育」についてどう考えているのだろう?

「痛いニュース」のコメントは5千を越えた。
「痛いニュース」の12月中の掲載記事についたコメント数で2番目に多いのが2千代なので、圧倒的な注目度だ。
でも専門家の発言を読みたい。
おおくぼ
2011/12/25 13:22
ピーターフランクルが順序を批判していたとネット上で読んだが、ソース未確認

数学教育専門家の意見
http://m-ac.jp/me/instruction/subjects/number/composition/monster/learned/presence/index_j.phtml?up=/me/instruction/subjects/number/composition/monster/index_j.phtml@learned
有識者モンスターの現象 作成: 2011-09-19
更新: 2011-09-19

--------------------------------------------------------------------------------


自分は数学が弱いと思っている者は,「かけ算の順序はこだわるべきものではない」を自分から言うことはない。自分を<かけ算の順序の論理を知らない者>にするからである。
自分から言う者は,自分は数学ができると思っている者である。実際,「かけ算の順序はこだわるべきものではない」は,識者・学者の中から出てくる。
積分定数
2011/12/25 14:09
識者・学者の意見に,「自分もそうだと思っていた」タイプが追随する。「かけ算の順序はこだわるべきものではない」の活発な発言が開始される。
識者・学者が言っているのだから,だいじょうぶというわけである。

「かけ算の順序はこだわるべきものではない」を言う識者・学者は,「かけ算の順序」の数学を知らない者である。実際,知っていればこの発言にはならない。知らないからこの発言になるわけである。

知らないことで自己主張すれば,めちゃくちゃを言うことになる。モンスターになる。
「かけ算の順序」論争は,「有識者モンスターの現象」の視点からも見ていくものになる。
積分定数
2011/12/25 14:10
黒木玄さんのツイートで「なるほど!」と思ったのは・・・

http://twitter.com/#!/genkuroki/status/150803709952147456

>続き しかし式は無駄を削ぎ落とした超簡潔な表現です。式を書いた途端に文章や図で表現されていた多くの情報が失われます。
>式はそういう性質を持つ道具なのに、式で無理矢理具体的状況を忠実に表現させようとしている。
>そのための規則の一つが掛算の順序に関するローカルルールなのです。続く
おおくぼ
2011/12/25 14:11
西三数学サークルの「お知らせ」に瀬山士郎さんの講演があった。
昨日と今日らしいけど、「掛け算の正しい順序」については話題になったのだろうか?

http://www.seisan-math.net/osirase/osirase.htm
おおくぼ
2011/12/25 14:21
宮下英明・北海道教育大学教育学部の教授ですが・・・。

http://kensoran.hokkyodai.ac.jp/huehp/KgApp?kyoinId=ymemgggggyd

この人は自分勝手な断定だけで、論理を展開してますね。
事実による反証ということを想定しないのだろうか?
例えば・・・自分の周りの成人男性はみんな喫煙者である。
ゆえに日本の成人男性はみんな喫煙者である。
こんな主張はムチャクチャだと気づかないのだろうか?
おおくぼ
2011/12/25 14:46
「掛け算 順番」でツイッター検索してみると、変なつぶやきを発見。

http://twitter.com/#!/HironobuSUZUKI/status/150838271386198017

>また掛け算の順番問題か。小学校の指導要領は、自然数全体の集合Nは乗法に対し交換法則が成立しないという画期的な理論を確立しているというだけでしょ。相手にするだけ無駄。

http://twitter.com/#!/HironobuSUZUKI/status/150852040661278720

>掛け算の順番問題:教職員組合の意見を聞けば、との意見。教職員組合の意見で自然数全体の集合Nは乗法に対し交換法則が成立するとかしないとか変わるわけだ。それなんていうルイセンコ学説w
おおくぼ
2011/12/25 18:06
変というか、もはやあきらめてるみたいですね…
M
2011/12/25 18:25
諦念から「画期的な理論、ルイセンコ学説」みたいな嫌味を言っていると思うけど、やはり変だと思う。
おおくぼ
2011/12/25 18:35
>小学校の指導要領は、自然数全体の集合Nは乗法に対し交換法則が成立しないという画期的な理論を確立しているというだけでしょ。

本当にそんなことが書いてあるのだろうか?
おおくぼ
2011/12/25 19:08
あと、自然数「全体」なら無限集合だから、順序数だったら積の交換法則が成り立たないけど。
小学校では無限集合は扱わないから、無関係だし。
おおくぼ
2011/12/25 19:12
記念講演 「これからの算数・数学教育をどうつくるか
〜やってきたこと、やりのこしたこと」
  瀬山士郎氏(元群馬大学教授)

やりのこしたこと、「かけ算の順序」w

西三数学サークルは私の質問書き込みを完全に無視するという態度で、見ると胸くそ悪くなるので、私はもう見ないことにしました。何か新しい情報があったら、教えて下さい。

 アンタッチャブルなタブーに触れてしまったのかな?

西三数学サークルのサイトに「6番目の素数の方、商談求む」とか出たら嫌だなw

積分定数
2011/12/25 20:44
>私のようなゴリゴリの反順序派にはTaKuさんの提案に魅力を感じません。

優れた考えでもないし、ルールが増えるのは良くないですよね。
今より順序派になる人が減らせそうな一提案と受け取ってください。

>けれど、TaKuさんの提案を順序派の人達がどう反応するかには興味があります。

反応してくれれば、色々ある順序派の考えがもう少し分かりそうです。

>【1】1箱に
>  「最中、大福、酒饅頭、黄金芋、草餅」
>  が1個ずつ入ったセットが4セットあるとき
>  お菓子は全部で何個ですか?

単位を付けたかけ算にすると「5個/セット×4セット」、「4セット×5個/セット」、「4個/種類×5種類」、「5種類×4個/種類」ですかね。
☆で表すと「5個☆4セット」、「4個☆5種類」になります。
以前の考えでは「4個/種類×5種類」の考えが「4☆5」となりバツになるのが問題だと考えています。

>【2】ウサギが3羽いるとき、耳は全部で何個ですか?

「2個☆3羽」、「3個☆2左右」(日本語がおかしいのはご容赦を)になります。
立式のプロセスが大体分かると思います。

>いっそ、問題文の要約を書くとか・・・

以前『子供は自分の思考プロセスを言語化して説明することはできません。』なんて話がありました。
順序派は「いつ」「何をどこまで」教えるべきか、はっきりして欲しいです。
TaKu
2011/12/25 21:06
>「2個☆3羽」、「3個☆2左右」

つまり、2☆3、3☆2 どちらでもいいという事ですね。

ゴルゴ・サーディーン
2011/12/25 23:44
http://m-ac.jp/school/

宮下英明・北海道教育大学教育学部教授の主張は酷過ぎる。
おおくぼ
2011/12/26 03:10
 ネットで順序が話題になっているから、山本義隆が何か書いていないかと期待したけど、見つけられなかった。

順序派の意見って、「4人に3個ずつ蜜柑」とあったら、確定申告書の所定の場所に数字を埋めるように、(1あたり)×(いくつ分)と書くことが正しい、と思っている節がある。それで、「問題文に書いてある状況を正しく認識しているかどうか」が判断できるのだろうか?

 蛸2匹の脚の数を、「2×8」と書いて、「それだと2本脚の蛸が8匹の意味になるよ」と教師が言って、

「その通りだよ。2本脚の蛸が8匹いるから、2×8って書いたんだよ」と言ったら、その子は正しく認識していないが、

「そういう事じゃないよ。8本脚の蛸が2匹ってことでしょ?」と言ったら、正しく認識している。
積分定数
2011/12/26 07:49
「教師が想定した順序に書くことができる」
「かけ算を理解している」

が正の相関関係になることはありえるかもしれない。

というのは、飲み込みの早い子であれば、「かけ算を理解して」「正しい順序をそつなく書く」ことができるだろうから。

 テストの前に、「今回のテストでかけ算は、大きい数×小さい数に書くように」と指示した場合も同様だろう。

 その通りにできる子とかけ算を理解している子には正の相関があるだろう。

「今回のテストでは、右端に昨日食べた夕食のおかずを書くように」と指示しても同様だろう。

 但し、相関関係は因果関係を意味しない。

向日葵が咲いている時期には蝉の声が聞こえる。
向日葵と蝉の声には相関関係がある。

今の時期に向日葵を植えて、録音した蝉の声を聞かせれば花が咲くだろうか?

プロ野球通算三振ベスト20には、清原、衣笠、野村、王などが入っている。

結論 三振ばかりするように練習したら、一流選手になれる可能性が高くなる。
積分定数
2011/12/26 08:20
 その子がちゃんと文章の意味を把握しているかどうかを確認したい、文章の意味を掴むようになって欲しい

ということであれば、

四則演算をやる前に、まずは、

「3人にそれぞれ2個ずつ蜜柑を配ると全部で何個?」というような、計算に頼らないで、図に書いたり指やおはじきを使って答えを出せるような問題をやればいい。

A 文章題の意味を把握している。
B それに基づき「(教師が想定する)正しい式」を書く。
C 正しい答えを書く。

これを同時に見ようすることに無理があると思う。CができていればAができている蓋然性が高いにもかかわらず、BとAを同値とみなすのが間違っている。
積分定数
2011/12/26 08:29
>ネットで順序が話題になっているから、山本義隆が何か書いていないかと期待したけど、見つけられなかった。

『福島の原発事故をめぐって―― いくつか学び考えたこと』(みすず書房:発行)の内容がスカスカなので驚きました。
『熱学思想の史的展開〈3〉熱とエントロピー』 (ちくま学芸文庫) を読んで、山本義隆さんが原発をよく知らないとということは推測できたんですけど。
おおくぼ
2011/12/26 09:11
 ネット上で一部批判が出ているとは聞いていましたが。

順序粉砕全共闘構想、頓挫w

当面は各自がゲリラ戦を展開するしかないかな
積分定数
2011/12/26 10:24
>順序粉砕全共闘構想、頓挫w

山本義隆さんは学生運動の伝説的な存在だったし。
でも宮下英明さんの文章を読むと、マルクス主義、イデオロギーみたいなこと書いているんですけど。
宮下英明さんは廣松渉先生の本とか読んだのかな?
おおくぼ
2011/12/26 11:18
小学低学年でも積の交換法則に気がついている子もいれば、そうでない子もいる。順番にこだわったルールは、できない子向けの考え方のルールと思われる。できない子に配慮することは良いが、高度な理解をしている子供にも配慮すべきと思います。小学生でもできる子であれば、こんなくだらないルールは、すっ飛ばして中学高校の数学レベルまで一気に到達できると思う。レベルの低い内容で授業時間をもてあましている優秀な子供たちに配慮すべき。できる子供たちが最大の被害者である。
mfv@guangzhou
2011/12/26 11:22
続き
できる子供であれば積の順番に意味のないことは直感的に理解しており間違いとされることに違和感をおぼえるはずです。数学において直感は極めて重要な要素。文章題で出てくる数字を適当に四則演算するできない子とはまったく違う。
mfv@guangzhou
2011/12/26 11:35
>順番にこだわったルールは、できない子向けの考え方のルールと思われる。

そうではありません。

>こんなくだらないルールは、すっ飛ばして中学高校の数学レベルまで一気に到達できると思う。

教える側が「掛け算の正しい順序」を重要なルールだと認識しているのです。

「掛け算の正しい順序」とは関係ありませんが、習熟度別のクラス分けや飛び級などはいいと思います。
おおくぼ
2011/12/26 11:40
>できる子供であれば積の順番に意味のないことは直感的に理解しており間違いとされることに違和感をおぼえるはずです。

「できる子供」の基準が不明です。
もし「できる子供」の基準を「積の順番に意味のないことは直感的に理解しており間違いとされることに違和感をおぼえる」こととするなら、同語反復になって、無意味な主張になります。

子供ではありませんが、数学がよくできると思われる大人でも「積の正しい順番」を主張する人達がいます。
おおくぼ
2011/12/26 11:48
「かけ算の正しい順序教育」は、教える側の勘違いから始まりました。
だから生徒の側ではなく、(広い意味での)教師の側に原因があるのです。
詳しくは・・・・
『かけ算には順序があるのか』 (岩波科学ライブラリー)
高橋誠:著
おおくぼ
2011/12/26 12:05
おおくぼ様
細かいところで議論はするつもりはありませんが、「できる子供」に配慮した教育になってくれればと思います。「できる子供」の基準ですか?小学生の頃、授業のレベルの低さにヒマをもてあましていた経験がある人間が教師になっていれば、直感的に判断できます。こんな投稿だとまた議論の対象になりそうですね。
mfv@guangzhou
2011/12/26 12:10
 問題点の1つは、「かけ算の順序」を方便としてではなく、教える側が本当にそれを信じてしまっていると言うことだと思います。「出来ない子には必要で、実際にそれで効果がある」というならまだ理解できますが、現実はそうなっていない。

 「出来ない子のためのもの」というのは、理系の人の多くが順序に反感を持つことに対する反論からというのが多い。

 「出きる子なら、バツを付けられても平気だろう。教師の望む式を書くぐらいできるだろう」

という偏見。

 本質を見極めるが故に、欺瞞を見抜き、「利口さ」を持ち合わせていない子もいるだろう。

 「王様は裸だ」と思った場合に、出きる子誰もが、「そういうことは言わない方が良い」と判断するほど利口とは限らない。
積分定数
2011/12/26 12:40
>「かけ算の順序」を方便としてではなく、教える側が本当にそれを信じてしまっている
というのは本当ですか?教育現場の部外者ですのでよくわかっていませんが??教え方のスキルとしてベストと信じてるの意味でしょうか、それとも数学のセオリーとして認識しているの意味でしょうか。後者でないと信じていますが少々不安です。
mfv@guangzhou
2011/12/26 13:13
本当です。
例えば・・・。

http://benesse.jp/blog/20071120/p37.html
おおくぼ
2011/12/26 13:47
>というのは本当ですか?

これは、「かけ算の順序」業界(?)では半ば常識になっています。

教師の主張を聞くと分かります。

>抑々 4 × 5 には, 4 の五倍という意味があります。 4 人の五倍では答が 20 人になってしまいます。 これでは問題文の内容を理解しているとは言えないのではないでしょうか。 五枚ずつ四人にという文章題に当てはめると、五枚の四倍で答は二十枚、5×4 という式が妥当なわけです。

「どちらでもいいのですが、かけ算の習い始めは固定する方が理解が促されるので、そういうように教えています。嘘も方便ということでご理解下さい」

というようになっていません。

また、「単位のサンドイッチ」だの、「長方形の面積を横×縦では駄目」という指導からすると、「方便」と自覚しているとは思えません。
積分定数
2011/12/26 14:10
>http://benesse.jp/blog/20071120/p37.html
を眺めると、あくまでも便宜的に順番の約束事があると読み取れますので、数学のセオリーとは認識されていないと思います。少しは安心しました。昭和30年代生まれの理系人間ですので、いつの間に現代数学は基本セオリーを超越したのかと思いました。
mfv@guangzhou
2011/12/26 14:18
便宜的な約束事ではありません。
計算では交換法則を認めながら、立式では交換法則を認めないという立場なのです。
計算と「式の意味」は別という立場なのです。
詳しくは・・・

http://d.hatena.ne.jp/filinion/20101118
おおくぼ
2011/12/26 14:35
>抑々 4 × 5 には, 4 の五倍という意味があります。 4 人の五倍では答が 20 人になってしまいます。 これでは問題文の内容を理解しているとは言えないのではないでしょうか。 五枚ずつ四人にという文章題に当てはめると、五枚の四倍で答は二十枚、5×4 という式が妥当なわけです。

うーん。英語的には4x5は、4times5なので、5枚が4回かな。日本語的には5x4とした方が良いように思う。数学的はどっちでもいいや、で完了のような気がしますが。長方形の面積で縦横逆だと不正解?小学校では生きていけますが、実社会では生きていけません。
mfv@guangzhou
2011/12/26 14:36
>http://d.hatena.ne.jp/filinion/20101118
を読みました。曰く、
「6×7では、6人が7つ分になり、答えは子どもの人数となってしまうことをおさえる。」
この記述は単位を明らかに誤認していますね。どこかの国が日本の歴史教科書を批判していますが、問題があるのは算数の方でしたか。
mfv@guangzhou
2011/12/26 15:02
過去の投稿をざっと読んで見ましたが、イデオロギー闘争みたいですね。理系頭は論理優先でイデオロギー闘争から逃げる傾向にありますから、心ある人々は途中でめんどくさくなって放置するか、長いものに巻かれているんでしょう。何はともあれ axb=bxa パラメーターの順序に意味は無い。単位を正確に記述すれば明らか。小学校低学年では正確な単位や次元解析は難しいかもしれないので便宜的に計算順序がある。でもイデオロギー闘争なので議論がまったくかみ合わないままいまに至る。ということでしょうか。
mfv@guangzhou
2011/12/26 15:48
より詳しく知りたい人はこちらをどうぞ。

http://www18.atwiki.jp/kakezan/pages/13.html
おおくぼ
2011/12/26 15:58
文科省と数教協とは考え方が違います。
数教協は、遠山啓さんや銀林浩さんや森毅さんに代表される流れです。
数教協には「量の体系」という独自のコンセプトがありますが、文科省には採用されていません。
ややこしいのが、教科書会社の出している教師用指導書(先生の教科書)と数教協の本が「掛け算の正しい順序」を共に主張していることなのです。
おおくぼ
2011/12/26 16:05
補足

数教協の主張は、「数の世界」では交換法則が成立するけど、「量の世界」では交換法則が成立しない・・・です。
だから教師用指導書の主張とは違うのです。
おおくぼ
2011/12/26 16:46
ウィキに「かけ算の順序」という項目を載せることは可能だろうか?
積分定数
2011/12/26 16:50
>いつの間に現代数学は基本セオリーを超越したのかと思いました

小学校低学年のうちから、非可換環を勉強するようです。

「積の可換性は自明ではないから」と順序指導を擁護する人もいます。

ペアノの公理から教えるつもりなのかと思ってしまいます。

冗談はさておき、行列や四元数の話を持ち出して順序指導を擁護する人は多いです。

「かけ算の順序はどうでもいいと思ったので線型代数で躓いた」という人は寡聞にして知らないのですが。
積分定数
2011/12/26 17:00
>つまり、2☆3、3☆2 どちらでもいいという事ですね。

単位がないのでどちらもバツです。
TaKu
2011/12/26 20:01
数教協系の人は、瀬戸智子さんhttp://ts.way-nifty.com/makura/2009/07/post-4df6.htmlにしろ、
tosa-bashさんにしろ、http://okwave.jp/qa/q7196103.html

「自分は順番だけみてバツにはしない」とか「自分もバツにするのは反対だ」とは言うんだけど、

順番にバツにすることに異議を唱えていると、

「いやそれはこれこれこういう意味があって・・」と言って順序を擁護する。

 「自分はそうしない」というのが順序擁護の免罪符になってしまっているかのよう。

 「自分もバツにするのは反対だ」と言いつつ、反順序の陣営で論陣張ることはしない。

 なんなんだろうか?と思ってしまう。

 私もこの問題は5年前の新聞投書で初めて知ったのだが、昔からこういう事態を知っていて問題意識すら持ってなかったというのが解せない。
積分定数
2011/12/26 21:19
日本数学教育史学会
http://www.kisc.meiji.ac.jp/~eijisato/

どういう研究をしているところなんだろうか?「かけ算の順序」の歴史とかも調べているのだろうか?
積分定数
2011/12/26 21:26
>でも宮下英明さんの文章を読むと、マルクス主義、イデオロギーみたいなこと書いているんですけど。
宮下英明さんは廣松渉先生の本とか読んだのかな?

今調べたら、1949年生まれで、全共闘世代になるんですね。
http://kensoran.hokkyodai.ac.jp/huehp/KgApp?kyoinId=ymemgggggyd

しかし、ネット上での、かけ算の順序論争に関する数学教育専門家からのほぼ唯一の発信が、反水道方式・順序擁護のこの人だけ。

 順序反対派の数学教育専門家っていないのだろうか?
積分定数
2011/12/26 21:43
>>つまり、2☆3、3☆2 どちらでもいいという事ですね。
>単位がないのでどちらもバツです。

なるほど、了解しました。
では、
「2☆3、3☆2 どちらもバツ」
「2個☆3羽、3個☆2左右 どちらもマル」
というわけですか。

つまり☆とは
 「順序派がやりたがっているらしい、式から
  何を考えているかを読み取る」
という事のための物であり、異種菓子詰め合わ
せは可換で、ウサギの耳は非可換、という事を
実現する物ではない、という事ですね。
ゴルゴ。サーディーン
2011/12/26 21:44
>小学校低学年では正確な単位や次元解析は難
>しいかもしれないので便宜的に計算順序があ
>る。

 「低学年に限定した“便宜的”なもの」
という事が確認されれば、害は減りますが、
それでも害が無くなるわけではありません。

例えば、この問題はどうでしょう?

【1】
 ゴルフ道具の工場で14人の人が働いてい
 ます。
 各人が1種類ずつを担当して 各々100本の
 ゴルフクラブを作ったら、全部で何本でき
 ますか?

【2】
 ゴルフクラブは、14本でワンセットです。
 [1]で作ったゴルフクラブを、100組のセッ
 トにして売りました。それを買った人が
 100人集まりました。
 そこにゴルフクラブは何本ありますか?
ゴルゴ・サーディーン(↑名前まちがえまし...
2011/12/26 21:49
>数学的はどっちでもいいや、で完了のような気がしますが。

どっちでもいいから、順序を固定してもいい…と思っているのではないかと疑っています。数学的に「どっちでもいい」は好き勝手に選べるという意味ではなく、どっちも同時に正しい、という意味なので順序を固定することは明確に誤り。
M
2011/12/26 22:32
http://yuugaku.cocolog-nifty.com/blog/2011/12/post-0de7.html
>ただ、順序の固定で判定するのも、経験上、案外、有効なんですよね。
順序を固定するように指示して、問題を解かせた場合、
理解していない子の多くが、順番が一定でなかったんですよ。

教えている人が方便だと認識していている場合、確率的なこととして、理解しているかどうかの判断材料としては有効ということはあるのかも知れない。

 ただ現在あっちこっちでやられているような、「ずつが先」とかいう指導ではその効果は望めないと思うが。
積分定数
2011/12/26 22:40
宮下英明さんの文章はすごく変なので、逆にツッコミがいがあると思う。

以下引用

>数学の中では,かけ算の順序は定理である。
>「ああでもない・こうでもない」の議論は,起こる余地がない。
>「かけ算の順序」論争が延々と続き,また延々と続けられるのは,かけ算の順序を数学の中の話にしていないためである。
>「かけ算の順序を数学の中の話にしていない」には,二つの場合がある。
>一つは,「論理で縛られる」という意味での「数学」を,端から知らない場合である。 これは,数学の初心者の場合である。
>もう一つは,かけ算の順序を<物>の話にしている場合である。
>すなわち,「空の色は?」のように「かけ算の順序は?」を考えようとするのである。
>「空の色は?」を考えるためには,空を見る。
そして,自分に見える色を論ずる。
>論じ方は,ひとによって違ってくる。
>自分の中でも一つには定まらない。
>「ああでもない・こうでもない」を延々と議論できる。
>これを,「かけ算の順序は?」でやる。
>「リンゴがどう・皿がどう」とやるわけである。
>論じ方は,ひとによって違ってくる。
>自分の中でも一つには定まらない。
>「ああでもない・こうでもない」を延々と議論できる。
おおくぼ
2011/12/27 00:43
高橋洋一さん(『TVタックル』に経済評論家としてたまに出てきます)のツイッターが「なるほど」と思った。

http://twitter.com/#!/YoichiTakahashi/status/149661487693176832

>かけ算の順番を気にすると、長方形の面積はタテ×ヨコなのかヨコ×タテなのかわからなくなってしまう。クビを傾げるとタテ×ヨコはヨコ×タテになる。小学校後半から算数、数学は学校で事実上授業免除で先生から教えてもらっていないが教えてもらわなかったことに感謝。数学科卒でもわからん数学教育。

http://twitter.com/#!/YoichiTakahashi/status/150539330610413568

>@genkuroki (今は見解なしとしても)昔の文科省で正式の出版物で掛算の順序にこだわっていたり、教科書指導書でこだわっていたら、文科省の責任は免れないと思いますよ。いったん出した見解は取り消さない限り生きています。



あと高橋洋一さんの新著『数学を知らずに経済を語るな!』についてのつぶやき。

http://twitter.com/#!/YoichiTakahashi/status/143208396919808000

>ようやく数学関係の本を校了した。私としては数学のつもりはないのだが、私の話は某ド文系編集者の人にとって数学的らしい。某ド文系編集者との会話を整理してそのまま本にしてしまった。

『政治家は算数ができないのに、経済を語るな!』という本を誰か出さないのだろうか?
日銀や財務省や東大の経済学部の先生方は難しい数式を使うのに、簡単な算数ができない人ばかりという気がする。
おおくぼ
2011/12/27 01:35
>あくまでも便宜的に順番の約束事があると読み取れますので


順序派の先生にもいろんなレベルが有ると思いますが、できない子どものための便法としてなら,テストで逆順を不正解にしたりしないでしょう。ルート2を 「一夜一夜に人見頃」と覚えていないと不正解にするようなものかと。


zorori
2011/12/27 06:17
http://minkara.carview.co.jp/userid/136799/blog/24915098/
ネットウヨとおぼしき人のブログに、ここのブログがリンクされていた。
右翼が反原発デモするぐらいだから、左右がそれぞれ順序・反順序に分かれて対立するのも不思議ではないが、マジレスすれば、日教組も全教も順序の「本丸」ではない。

 「本丸」はどこか?それが分かれば苦労はない。

「かけ算の順序」は算数教育業界に漂う空気。
「昔からそうなっている」「とにかくそうなっている」・・・
積分定数
2011/12/27 07:51
 宮下英明とたけひこさんは、言いたいことがよく分からないから、あまり反論する気が起きない。

 瀬戸智子さんも何言っているのか分からなかったけど。

 順序擁護の意見で一番まともだったのは、上に書いた↓
http://yuugaku.cocolog-nifty.com/blog/2011/12/post-0de7.html
>ただ、順序の固定で判定するのも、経験上、案外、有効なんですよね。順序を固定するように指示して、問題を解かせた場合、理解していない子の多くが、順番が一定でなかったんですよ。

http://yuugaku.cocolog-nifty.com/blog/2006/09/post_1c01.html
コメント欄で私とやりとりしていますが、教条的順序派の人とやりとりするときに感じるイライラとは無縁でした。
積分定数
2011/12/27 08:24
>文科省の責任は免れないと思いますよ。いったん出した見解は取り消さない限り生きています。

学校都市伝説 「横書きの読点はコンマ」
http://suugaku.at.webry.info/201102/article_10.html

これもそうなんだけど、役所が過去の行為を「誤りだった」と認めるって、難しいと思う。

役所に限らず、組織ってそうだね。例え、反体制や民主主義を標榜する組織であっても官僚的になることはあり得る。数教協系の某サークルとかw

 だから私は、この手の議論は、個人が個人として自分の考えを述べればいいと思っている。団体や組織が必要な場合もあるが、「かけ算の順序についてどう考えるのか」「算数・数学教育をどう考えるのか」を議論するのに組織は不要。

 かつてであれば、情報交換のために同好の士があつまり、機関誌を出したり、直接合って議論したりすることに必要性があったと思う。

 今はネットがあるのだから、必要性が薄れてきていると思う。
積分定数
2011/12/27 08:48
>数学の中では,かけ算の順序は定理である。
>「ああでもない・こうでもない」の議論は,起こる余地がない。

これは凄い主張だと思う。
可換の数学は存在しないのか?
北海道教育大学教育学部って、どうなっているんだ?
おおくぼ
2011/12/27 09:20
黒木さん曰く
>掛算を「ひとつあたりの数×いくつ分」の順序に書くことにこだわりたい人には是非とも左割算と右割算を区別する記号法で教育を行なって欲しいものだ(もちろん皮肉)。(そもそもひとつあたりの数といくつ分の数の区別は文章題だけでは決まらず、考え方を指定しないと決まらない。)

同様のことは私も書いた。http://suugaku.at.webry.info/201102/article_17.html

かけ算の順序で行列を例に出す人がいるが、事情は逆。

行列は一般的に右割り算と左割り算が区別される。しかし、互いに可換な行列の集合を考えれば、この区別がなくなり、可換環と同様の扱いが可能となる。

だから、

E+A+A^2+A^3+・・・+A^n
=(E−A^n)・(E−A)^(-1)

という、等比数列の和の公式行列バージョンも可能。

行列でもある種の制限をすれば可換になる。そもそも成分は可換とするのが普通。

何が悲しくて、最初から可換な自然数を非可換とみなさないとならないのか?
積分定数
2011/12/27 12:06
>ウィキに「かけ算の順序」という項目を載せることは可能だろうか?

ウィキペディアを作ったことも編集したこともないけど、誰でもできるみたいですね。
「かけ算の順序」教育の歴史的な経緯が、ウィキペディアで調べられると便利だと思う。
おおくぼ
2011/12/27 12:36
かけ算の正しい順序とやらは見たことも聞いたこともないが、わり算や比例や分数でつまずいたことなどありません、行列でつまずいてもいません、量子力学なんか非可換だらけですが、かけ算の正しい順序とやらを教えてもらったら良かったなんて考えたこともありません。

だいたい、交換法則が自明じゃないんだったら結合法則も自明ではない。3次元ベクトルの外積は結合法則が成り立ちません。外積でつまずくから3つ以上の数のかけ算を勉強するのはやめましょう!

3つ以上の数のかけ算はできない子の人権を侵害してます!交換法則も結合法則も人権侵害です!

鰹節猫吉
2011/12/27 12:46
>かつてであれば、情報交換のために同好の士があつまり、機関誌を出したり、直接合って議論したりすることに必要性があったと思う。
>今はネットがあるのだから、必要性が薄れてきていると思う。

数教協は全国に会員がいるのだから、ネットを使って積極的に議論や情報交換をしないのだろうか?
おおくぼ
2011/12/27 12:55
E+A+A^2+A^3+・・・+A^n
=(E−A^n)・(E−A)^(-1)

この式、間違えてました。

E+A+A^2+A^3+・・・+A^(n+1)
=(E−A^n)・(E−A)^(-1)

ウィキに立てること、真面目に見当してみよう。

「かけ算の順序とは、小学校で広く行われている誤った算数の指導法」と、最初から喧嘩売ったら編集合戦になるかな。中立を装って両論併記ということで。

 非可換な積の話と(1あたり)×(いくつ分)はそもそも何の関係もないわけで、屁理屈ですよね。

「積は一般的には可換でないから、自然数の積にも順序がある」とかいう人は、カワハギの肝あえを食べてはいけない。

 フグ目の魚の肝は一般的に無毒というわけではないので、カワハギの肝を無毒と考えるのは間違っています。
積分定数
2011/12/27 15:48
積分定数さん
ブログを読んでいただきありがとうございます。
キクログでも提案した「テスト改革」はやっぱり難しいのでしょうか?
順序を守らないといけないと考えている教員の一部は、テストで○にならないと、まずいと考えて、○を取らせるために、順序を強調している系なのではないかと考えています。
2数しか出てこなくて、掛け算の単元のテストだと分かっている状態で、理解度を知るのは無理だと思うので、そういうテストをなくしたら、信じ切っている系ではない教員は、治るような気がしますが。
SZK
2011/12/27 19:22
>SZKさん

どうも。テストに関して、足し算や引き算の問題も混ぜたり、ダミーの数を入れたりしたらどうかという提案は、反順序派の方からも出ますが、・・・

この方のブログによると、指導書にかなり明確に順序に拘るようにという記述があって、それが縛りになっているようですね。

http://d.hatena.ne.jp/filinion/20111224/1324684685
積分定数
2011/12/27 19:38
http://math.artet.net/?eid=1421686
>はやいもので娘も小学校4年生となり、+、−、×、÷の混じった式も学習しましたし、交換法則・結合法則・分配法則も習いました(用語はナシ)。が、テストではあいかわらずかけ算の順序にこだわる採点はされているようで

300枚の画用紙を1人に7枚ずつ27人に配る。残りは何枚?

300−(27×7)が間違い???

これじゃあ、問題が複雑になったら手に負えなくなるよ。

ABCDの並べ替えは何通り?
4×3×2×1は間違い?
積分定数
2011/12/27 19:43
問題を間違えた。

300枚の画用紙を1人に7枚ずつ24人に配る。残りは何枚?


「おまけ」で○にはなっているんだね。でも納得行かない。

あとこういう問題を、

7×27=168
300−168=132

というのは減点なんだろうか?1つの式に書くという縛りはきつい子もいるように思うのだが
積分定数
2011/12/27 20:25
積分定数さん
スラドでも話題に上がってます。
算数教育の今の惨状を語って頂けませんか。
sca
2011/12/27 20:44
かけ算には順番があるか?〜学習指導要領とZ会の場合〜
http://www.insightnow.jp/article/6932

1ページ目しか読めない
積分定数
2011/12/27 20:52
>scaさん

すみません、「スラド」って何ですか?
積分定数
2011/12/27 20:54
http://slashdot.jp/
これのことかな?
積分定数
2011/12/27 20:57
http://www.insightnow.jp/article/6932
黒木さんのtweetによると「無料の登録をするとZ会で算数の掛算の順序をどのように扱っているかがわかりますね」
TN
2011/12/27 23:38
今登録して読んだところ。ああいう登録って、アドレス入力したりが不安なんだよね・・・

まあ、常識的な事書いてあった。

Z会の社長が静岡県教育委員会委員だったけど、まだ在任かな。不祥事続きでかけ算の順序どころじゃないと思うし、市町村立の小学校は、県教委とは別なのかも知れない。そのあたりのことがよく分からない。
積分定数
2011/12/27 23:56
> 積分定数 さん

> フグ目の魚の肝は一般的に無毒というわけではないので、カワハギの肝を無毒と考えるのは間違っています。

 そういうのが通用するんだったら、

 カワウソもネコ目だから、カワウソはマタタビで酔っぱらう。

なんてことになりますぞ。


冗談はさておき、「考え方重視・意味重視」→「意味重視の公式(1あたり×いくつ分)を提示」→ 「公式あてはめ」→ 「パターン化された問題を先生が決めた方法で解く」 という方向に走ってしまっている。困ったものです。
鰹節猫吉
2011/12/28 00:55
一般では〜だから、特殊でもそうだ

ってのは、根本的におかしいことに何故気づかないんでしょうね。某物理学者もそうでしたね。

バスに6人乗っていて2人降りたを−2+6とするのはおかしい。
だから、6人乗って2人乗ったを2+6とするのはおかしい。

百歩譲って、前半を認めるとしても、「前半が成り立つならば後半が成り立つ」とはならない。

別の物理学者は、「さすが言うことが違います。素晴らしい考えです。」などと言っていたが、アホか!
積分定数
2011/12/28 07:35
メタメタさんのブログから
http://ameblo.jp/metameta7/entry-11119122307.html
>1980年代以前は,かけ算を「累加」や「倍」で導入していたが,aやaの単位量1は「物として見える」が,bやbの単位量1は「物」としては見えないものだった。「累加」では,bの単位量1は,a個の物を加える1回の操作という「はたらき」であり,「倍」では,bは,aとcの「比」を表す「関係」だった。しかし,「はたらき」や「比」という考え方(関数)は,たし算とひき算しか習っていない子どもにはわかりにくい,ということが,遠山啓が,かけ算を累加や倍で導入することを批判した理由のひとつだった。

このことと順序にうるさくなったことがリンクしているように思える。

nCrについて考えてみる。

これを、nPr/r!と定義してみる。
n!/[r!・(n-r)!]としても同じ。
ということは、nP(n-r)/(n-r)!と同じ。
ということは、nCr=nC(n-r)

nCrの値は一意的だがその表現方法はいくつもある。どれでも構わない。


ところが、nCrを「n個からr個取り出す方法が何通りあるか」という意味としてだけ捉えると、

nC(n-r)はn個からn-r個取り出す方法が何通りあるか、ということだから、nCrと答えは同じになるが意味は全く違います。nC(n-r)とnCrはどっちも同じだというのは、意味なんかどうでもいいという思考軽視です。

と、高校教師が言っている事例は幸い聞いたことがないが、単なる式での定義よりも意味づけによる定義の方が、「他の意味ではない」となりがちだと思う。
積分定数
2011/12/28 08:12


かけ算も、3×4から12が出せるアルゴリズムが提示されれば何でもいいということなら、累加で構わないし、3+3+3+3 でも 4+4+4でも結局同じだから、どっちでもいい、となったのが

下手に意味づけしてしまったので、融通が利かなくなったような気がする。

小町
http://komachi.yomiuri.co.jp/t/2011/1210/467390.htm?o=0&p=11
5×2 と 2×5 の意味は全く、全く、まーーったくちがうでしょ。これを学校の教え方が悪いとかお国が悪いとか言っている人・・・。勘弁してください。。。どんな簡単なものでも、数式には意味があるのよ。

こういう発言も最近は驚かなくなったが、意味の強調による弊害だと思う。
積分定数
2011/12/28 08:13
花まる先生
http://www.asahi.com/edu/student/teacher/TKY201101160133.html
>「かけ算の意味って、すごく大切。数字の順番でなく、何のいくつ分か考えてとくのを忘れないでね」。
http://www.asahi.com/edu/student/point/TKY201101160131.html
>何のいくつ分かという計算を、逆にするとこんなに違う意味になるというのを分かってもらえるようにしました。ウサギの耳の数、人の鼻や指の数など、間違えると明らかにおかしいものを選びます。インパクトが強ければ、今後もかけ算を考えるときに、映像が頭に残りますから。

「順番」を徹底して教えながら「数字の順番でなく、何のいくつ分か」などとどの口が言うのだろうか?

瀬戸智子さんやどろんこ氏も同様。散々順序に拘っているくせに、「大切なのは順序じゃなくてかけ算の意味で・・・」「自分はバツは付けないが・・・」などという。

 バツを付けないで懇切丁寧に順序を説明されるよりは、バツにされて放置された方がましだと私なんかは思ってしまう。
積分定数
2011/12/28 08:46
イラク戦争のときにブッシュも小泉も「戦争は望んでいない。平和的解決が望ましい」とか言っていたな。「戦争を望んでいない」と「戦争を行う」は矛盾しない。戦争という行為への批判に対して、「自分は望んでいない」ははぐらかし。「戦争を望むな」という批判への対応なら理解できる。

「かけ算の順序」指導の背景にどのような素晴らしい意図があろうとも、現にろくでもない授業が行われているわけだが、どうもそこを見ないで、「教師の本当の狙い」を婚約問答的に憶測して、「きっと素晴らしいとがあるに違いないから、順序を批判するな」という人たちがいる。

http://d.hatena.ne.jp/filinion/20111224/1324684685
を見ると、指導書に書いてあるから仕方なく従っている教師も多そう。

 確信犯的に順序に拘っているのはむしろ、数教協系の人のような印象すら受ける。
積分定数
2011/12/28 08:47
数式に意味があるというのはいいけど、どんな意味があるかは人それぞれだと思う。
1=1にどんな意味を見出すかは違う。
心理学者はアイデンティの法則だと思うし、マルクス経済学者は価値の法則だと思い、物理学者は物質保続の法則と思うかもしれない。
数学の凄いところは、いろんな分野に使えるところだ。
これは数学の証明が論理的に矛盾がなければ何でも有りにしているからだ。

また文章題から式を作る時に、どういう発想で作ったかは、本人に説明してもらわないとわからない場合が多いと思う。
サンドイッチ方式で正解しても、本人が理解しているとは言えない。

「3+3+3+3=12」と「4+4+4=12」は答えが同じでも表現が違うというならその通りだけど(見ればわかる!)、掛け算の順序とは無関係。
おおくぼ
2011/12/28 08:50
>婚約問答

「?」と思ったけど、想像したら笑ってしまいました。
失礼しました。
おおくぼ
2011/12/28 08:59
教える側が「掛け算の正しい順序教育」に洗脳されていることが一番の原因だと思う。
だから教える側の洗脳を解かないといけない。
おおくぼ
2011/12/28 10:48
https://twitter.com/#!/karmannghia_/status/151683574154797057

>@isa_kent 単位物質量あたり質量x物質量=質量、単位時間あたり電荷x時間=電荷…こういう考え方はその先ずっと使っていく基本中の基本なのだから.。
>こういう考え方を重視するのは単なるルールだからという話ではなくそれが本質だからなのです。

これは日本語習慣主義者の発想ですね。
「基本中の基本」とか「本質」という言葉を「日本の習慣」と変えれば、言っていることは理解できる。
『かけ算には順序があるのか』 (岩波科学ライブラリー) でも遠山啓さんのダメな考え方として紹介されていた。
おおくぼ
2011/12/28 11:18
>婚約問答

しまった、「蒟蒻問答」

あと、考えを説明するって、子どもには(大人にも)難しいと思う。だから、教える側は色んな方法でその子が理解しているかどうかを判断しようとするのだろうけど、

かけ算の順序だけでそれを判断するなど愚の骨頂

積分定数
2011/12/28 11:53
>単位物質量あたり質量x物質量=質量、単位時間あたり電荷x時間=電荷…こういう考え方はその先ずっと使っていく基本中の基本なのだから.。

順序なんか全く気にしない人たちが、密度や電流について難なく理解して式を立てている現実をどう考えるのか?

容積8立米の密閉容器に空気を充填する。密度が7g/立米のときの質量は?

1g/立米あたり8gだから、その7倍 とごく自然に考えられる。(1あたり)×(いくつ分)にしろというなら、
8g/(g/立米)×7g/立米
積分定数
2011/12/28 12:10
「3+3+3+3=12」と「4+4+4=12」という足し算は、どちらも「3×4=12」と「4×3=12」という掛け算に表現できる。
だから「3×4=12」と「4×3=12」という式からは、「3+3+3+3=12」と「4+4+4=12」のどちらの「足し算の変形」かは、判別ができない。
「(小学校での)掛け算の順序が変わると、掛け算の式の意味が変わる」という数学的な根拠はない。
おおくぼ
2011/12/28 14:59
http://science.slashdot.jp/story/11/12/27/0849220/6%C3%978%E3%81%AF%E6%AD%A3%E8%A7%A3%E3%81%A7%E3%82%828%C3%976%E3%81%AF%E3%83%90%E3%83%83%E3%83%86%E3%83%B3%EF%BC%9F

例によって同じ様な意見が出ているが、

>図の中の二等辺三角形を全て求めよという小学3年生の問題で「正三角形も二辺の長さが同じだから二等辺三角形なんだよ」と得意気に子供に言いつつ答えをみたら,2つは別扱いになっていて,しょぼんとした俺.

かけ算の順序と同様、片方の順序だけ教えて、もう片方は伏せておく、児童が混乱するからという理由、だけど教師が混乱している。

正方形が長方形かどうかも同様。


>小学校2年生くらい?で習った時は、「『一当たり』かける『幾つ分』と書く」と教わりました。それこそ30年くらい前ですが。「いちあたり」という言葉が当時は難しかった記憶があります。

 普通に累加で考えれば何でもないことを「いちあたり」などと余計な言葉を外から入れられることで混乱してしまう子が多いかも知れない。



積分定数
2011/12/28 16:14
「掛け算に正しい順序」がないことは、交換法則を知らない小学生でもわかると思う。
交換法則を無視しても、「小学校の掛け算」には「正しい順序」の数学的な根拠はない。
だから交換法則を教えていない段階だから「掛け算の正しい順序」が必要・・・という理屈は成り立たない。
おおくぼ
2011/12/28 17:02
「掛け算に正しい順序」がないことは、交換法則を知らない小学生でもわかると思う。
交換法則を無視しても、「小学校の掛け算」には「正しい順序」の数学的な根拠はない。
だから交換法則を教えていない段階だから「掛け算の正しい順序」が必要・・・という理屈は成り立たない。
おおくぼ
2011/12/28 17:09
「掛け算に正しい順序」がないことは、交換法則を知らない小学生でもわかると思う。
交換法則を無視しても、「小学校の掛け算」には「正しい順序」の数学的な根拠はない。
だから交換法則を教えていない段階だから「掛け算の正しい順序」が必要・・・という理屈は成り立たない。
おおくぼ
2011/12/28 17:09
同じコメントの連投になってしまったので、重なったコメントの削除をお願いします。
おおくぼ
2011/12/28 17:12
3x4=3+3+3+3
というようにかけ算を足し算で説明するのは、何か違和感がある。
正確には3x1+3x1+3x1+3x1でx1の部分を省略しているだけ。積分も微少面積の足し算として説明しているので、あくまでかけ算してから足し算。すいません、小学校の算数にはどうでも良いことでした。
mfv@guangzhou
2011/12/28 18:22
面倒くさいから、いいにしましょう。
積分定数
2011/12/28 18:23
見てきました。
教科書自体を変えるようにしないといけないようですが、教科書ってどうやって変えることができるんでしょう?
社会の扶桑社みたいに、作りたいところが作って、選んでもらうしかないんでしょうか。
SZK
2011/12/28 19:11
>教科書ってどうやって変えることができるん
>でしょう?

一番変えたいところは、教科書ではなくて教師
むけの「指導書」なんですが。

教科書その物と、指導要領は文科省のコントロ
ール下にあります。
教科書と指導要領が順序主義を肯定しているか
どうかは玉虫色です。(これについては、私が
言うよりこの場での情報収集があてになります。)
問題は「指導書」です。
これには順序主義が堂々と載っているそうです。
指導書には文科省のコントロールは及んでいな
いのですが、それを判ってない情報弱者な人々
が指導書を見て
 「文科省がこれを支持している」
と勘違いして言いふらす、これがいけないのです。
ゴルゴ・サーディーン
2011/12/28 21:41
「新しい算数教科書を作る会」を結成して小林よりのりに漫画にしてもらおうかw

 ただ、かけ算の順序って、算数・数学教育の専門家の間では「常識」らしくて、何でそんな馬鹿げたことになっているのか分からないのだけど、根は深そう。
積分定数
2011/12/28 22:03
遠山啓さんは「検定外教科書」を出したことがありますね。
数教協は検定教科書を批判しても、教師用指導書は批判しませんね。
あと教科書ではない市販のテキストにも原因があると思う。

http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20111130/1322600095

http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20111201/1322686495
おおくぼ
2011/12/28 23:04
>指導書には文科省のコントロールは及んでいな
いのですが、それを判ってない情報弱者な人々
が指導書を見て

ソースは?
ブルドック
2011/12/29 04:01
>ソースは?

これは逆です。
文科省が教師用指導書をコントロールしている証拠が公になっていないからです。
もしかすると、そんな証拠はないのかもしれません。
教師用指導書には教科書のような検定はありません。
建前的なことを言うと、教師用指導書は教科書会社が各自良識を持って、教科書の副読本として作った教師用の解説本なのです。
また教師用指導書に従って教えなければいけないという決まりもありません。
可能性だけ言えば、文科省がコントロールしているという可能性はあります。
でもそんな証拠は公にはなっていないのです。
おおくぼ
2011/12/29 08:40
文科省はお役所。たいした人数がいるわけでもないし、担当者は定期的に入れ替わるわけで、そこがなんでもかんでもコントロールしていると考えるのは、合理的推定ではないと思う。基本的には、文科省も、教科書出版社も数学教育業界の「えらいひと」の言うとおりにやっているだけでしょう。その本丸が誰なのかは(人数も)さっぱりわからないけど。
TN
2011/12/29 09:03
証拠のない推理をすれば、文科省の人が直接コントロールしているのではなく、文科省の伝統に通暁している数学教育関係者がコントロールしている可能性はあると思います。
あくまで可能性の話です。
教育系の大学の先生方や、有名小学校の校長(と元校長)が文科省(文部省)の伝統を遵守しているのかもしれません。
だから現在の文科省がコントロールしているのではなく、かつての文科省(文部省)の影響を受けた人達がコントロールしているという仮説です。
文科省(文部省)の亡霊に操られていると言うと、オカルトっぽいかな(笑)。
私は証拠を見つけていませんけど。
おおくぼ
2011/12/29 09:14
いやいや、これはだじゃれでしょう。


ブルドック ソース


鰹節猫吉
2011/12/29 10:41
http://www.jtu-k.com/study/img/070328Taro10-03kyoukenisihara.pdf
>教科書のほとんどはわり算はかけ算の逆算で指導す
るようになっている。しかしこの方法からは等分除と包含除の操作の決定的な違いは認識でき
ない。等分除と包含除はそれぞれに独自の操作から導かれる演算であるとして指導される必要
がある。そうしないと3用法の理解に大きな支障をきたす。

これを書いた人は遠山啓教条主義者ではないようです。

http://suugaku.at.webry.info/201103/article_4.html
「6コのリンゴを3人にわけると1人前は何コずつになるか」という等分除の問題は、
6÷3=2
となるが、これから答えを出すには、トランプを配る方法を使うと、まず1回配って3コ、2回目は3コで、結局3コが6コのなかにはいくつ含まれているか、を考えることになって包含除に転化する。したがって分離量では等分除と包含除はたがいに転化し合うものとなる。事実上そのように考えることができないと困るのである。 by遠山啓


大事な部分を継承しないよりは、大事な部分を継承する教条主義の方がましかも知れません。
積分定数
2011/12/29 12:57
小学生のときに、「割り算って2つある!20÷4=5は、4つに分けたら1つ分は5、20の中に4が5個、両方の意味がある!」と気づきましたが、「あっ、でもかけ算の逆なんだから当たり前か」と納得しました。

 当時、掛ける数とか掛けられる数の区別などうるさく言われなかったのだと思います。

 うるさく言われたら混乱したと思う。
http://suugaku.at.webry.info/201102/article_17.html
積分定数
2011/12/29 13:01
遠山啓は分離量においては、包含除と等分除の区別はないと正しいことを言っていたが、連続量では区別があるとも言っている。これは誤り。

連続量では、包含除と等分除の転換が考えにくいのは確かだが、転換は可能。

では何故転換が考えにくいのか?

ア 300÷2=150
イ 300÷150=2

アとイをどうやって暗算しただろうか?私を含めて多くの人は、

アは300を2等分したと思う。
イは300の中に150がいくつあるか考えたと思う。

300÷2を包含除的に考えるとすると、2を沢山あつめて300にしようとするから、実際にそういう作業をするわけではないがちょっと煩わしい気持ちになる。

300÷150を等分除的に考えようとすると、300を150個に分解して・・・、ちょっと煩わしい気がしてしまう。

相対的に A÷Bにおいて、Aが大きくBが小さいと等分除的な発想になりがち、Aが小さくBが大きいと包含序的発想になりがち。

単なる心理的な話である。

積分定数
2011/12/29 13:24
連続量というのは、Aが極端に大きい場合に相当する。水分子の個数で考えたら、3Lの水を6人に配る問題でも、水分子を1個ずつ6人に渡すというトランプ配りの方法を想定することは出来る。現実には出来ないと言う揚げ足取りはなし。

しかし、ちまちまちまちま分子を1個ずつ分けるのは、心理的煩わしさがある。だから、包含除的に考えにくい。

300÷2を包含除的に考えにくいのと同様。

米粒は分離量か?連続量か?
ダースと同様、1合の米を「米何粒分」と定義したら、分離量とも連続量とも捉えられる。

分離量と連続量は概念としてはつながっている。
積分定数
2011/12/29 13:33
300÷2は等分除的発想の方が計算しやすい
300÷150は包含除的発想の方が計算しやすい

と同様のことは引き算でも言える

ア 100−2=98
イ 100−98=2

アは、100から2下がったらいくつか?という求残的発想
イは、98にあといくつ足したら100になるかという求補的発想

の方が暗算しやすいと思う。

もちろん、割り算にしろ引き算にしろ、そんなこと意識しないでやってしまう。無意識に最善の方法を選び取っている。

なぜそういうことが可能なのか?

包含除・等分除、求残・求補などという区別などない、
A−Bは、AからB下がったらいくつか?Bがあとどれだけ進んだらAになるか、どちらで考えてもいい、両者は同じこと

と知っているから。

知ってもいない。そんなこと意識すらしない。

歩くときに、左右の足を交互に前に出すことを意識しないようなものである。

 包含除・等分除の区別を強要するのは、歩き方を指図するようなものかも知れない。

 昔話にこう言うのがある。

ある日、百足が歩いていると、「百足さん、そんなに沢山の脚を絡ませないで良く器用に歩けますね。いったいどうやって歩いているのですか?」と聞かれた。

百足は「えっ?」と思った瞬間、脚がこんがらがり歩けなくなった。


私も、かけ算の順序問題に取り組む前は、何不自由なくかけ算の式を立てられたが、意識するようになってしまい、式を立てるのが若干遅くなった気がする。
積分定数
2011/12/29 13:58
掛け算の正しい順序教育は、文章題に発生しているわけです。
文章題というのはくせ者だと思います。
『いやでも楽しめる算数 』(講談社文庫) 清水義範(文)&西原理恵子 (漫画):著でも、数学嫌いを作る元凶だということがわかりやすく説明してありました。
文章題は、問題作成者の意図を読み取ることが重視されます。
だから国語の試験の能力が要求されます。
おおくぼ
2011/12/29 17:06
分数は図で書くとわかりますが、数式だけだとわかりにくいですね。
1/2と2/4と3/6が同じだということは、図だとわかりますが、数字だけだとわかりにくいです。
掛け算も面積で書くとわかりやすいですが、数式だけや文章だけだとわかりにくいです。
おおくぼ
2011/12/29 17:36
>いやいや、これはだじゃれでしょう。

ピンポーン!

それでも、推測だらけということがよくわかりました!
たしか、立証責任は、主張する側だよね。

文科省は、教科書会社の監督できるんだよ。
指導書でもなんでも、問題があれば、指導ができるはず。
ニュースにはなっていないけど、今までもあったよ。
まあ、この程度では指導はないけどね。
ネットで集めた情報だけでは、わからないけどね。
情報弱者は誰かな?
カゴメ
2011/12/29 18:17
ついでに
本丸さがしなら、中央教育審議会の専門部会だよ。
ここの答申に学習指導要領がしばられて、指導要領に解説書がしばられているんだ。
解説書の執筆者は、自分の意見なんて入れられないよ。
中教審答申をいかに一般の教師にわかるように解説するだけだから。
専門部会の議事録を読むと誰が犯人かすぐわかるよ。
これはネットでも読めるから探してみたら。

黒木さんが気にしている式表現も、言いだしっぺが誰かは明白。たぶん黒木さんのよく知っている人なんて落ちがあるかも。
おたふく
2011/12/29 18:23
>言いだしっぺが誰かは明白。

明白なら教えてください。
おおくぼ
2011/12/29 19:27
>情報弱者は誰かな?

ちょっと言葉足らずでしたが、私はコントロール
という言葉を違う意味で使っています。
 「名目上・形式上、コントロールするしくみ
  があれば、それをコントロールされている
  とする」
という意味です。
たとえば、国民は最高裁判所をコントロールする
手綱を持っています。(実質はどうあれ)
国民は日本銀行をコントロールする手段を持って
いません。
自治体首長は、教育委員会に命令できません。
橋下もと大阪知事が就任したばかり頃、
「教育委員会に命じて調べさせます」
と言って、数分後に訂正したりしてました。

>>言いだしっぺが誰かは明白。
>明白なら教えてください。

そうですね、ぜひ教えてほしいですね。

「俺はオマエラより物を知ってる」という態度
を見せたまま話の核心を出さないやり口は、も
う飽きました。
ゴルゴ・サーディーン
2011/12/29 20:13
http://blogs.itmedia.co.jp/magic/2011/12/6886-2d5b.htmlへの書き込み

>根上生也さん

倍と積の2つがあるというその主張の根拠は何でしょうか?何かの算数教育の指南書でしょうか?

既に書いたように、「2つの異なるかけ算」が存在するわけではありません。かけ算はかけ算です。それを見る角度によって違うように見えるだけです。算数を教える上では重要な区別かも知れませんが、何ら本質的な区別ではありません。

 むしろ、累加・倍の概念から自然に単位が変化するかけ算への移項できるような指導の方が優れていると思います。

 既に書いたように、長方形の面積も、倍と捉えることが出来ます。単位の片方が無次元の場合を「倍」と称しているに過ぎません。

【質問】
力のモーメント×角度=回転の力がした仕事

単位は

力のモーメント N・m=J
角度 無次元 radは便宜的なもの
仕事 J

単位は変化していません。これは「倍」でしょうか?
積分定数
2011/12/29 20:46
>としさん

ABCDの並べ替えの場合、順序を気にすると手間がかかります。どちらがいくつ分とも容易に考えられる問題で「正しい順序はどちらだ」と迷って混乱する可能性もあります。また、「正しい順序」を「単位のサンドイッチ」などと機械的に求めることが出来ます。

 仮に、順序指導にメリットがあったとしても、「単位のサンドイッチ」などという虚構のルールを教師が信じているなど、デメリットの方が大きいと思います。

 教える教師が色々模索する中で「順序に拘った方がよさそうだ」というならまだ理解できるのですが、指導書に書いてあるから従っているということが多いようです。
http://d.hatena.ne.jp/filinion/20111224/1324684685

>ジェッタさん

http://komachi.yomiuri.co.jp/t/2011/1210/467390.htm?o=0&p=0
のトピ主の娘さんがそのようですよ。「トピ主のみ」でコメントを見てみて下さい。
積分定数
2011/12/29 20:46
>「俺はオマエラより物を知ってる」という態度
そんなことは思ってないって。
他人を情報弱者なんていう人には言われたくないですね。


>そうですね、ぜひ教えてほしいですね。
オレが勝手に思ってるだけかもしんないので、自分で確認してね。
他人を情報弱者なんていうくらいだからすぐに調べられると思ったのに。

議事録は、ここで読めるよ。「逆に数式があったとき、それを日本語の文として言い直させる」なんて言っている人が要注意。
これが黒木さんが大反対している「式の意味」だよ。
http://www.mext.go.jp/b_menu/shingi/chukyo/chukyo3/013/giji_list/index.htm


根上生也先生、超有名人ですね。

横浜国立大学教授
日本数学協会理事
第17期日本学術会議の数学研究連絡委員会数学教育小委員会委員
21世紀の科学技術リテラシー像 〜科学技術の智 〜プロジェクト数理科学専門部会委員
日本数学会大学数学基礎教育ワーキンググループ委員
京都大学数理解析研究所専門委員会 専門委員会委員
位相幾何学的グラフ理論研究会代表

メールアドレスも公開されているから、黒木さんも直接対決すればよいのに。
イカリ
2011/12/29 22:43
イカリさん
ソースの御提供ありがとうございます。

ただ,「逆に数式があったとき、それを日本語の文として言い直させる」で検索したら,発言者は,浪川幸彦さんのようですが。

また,ここの発言にあるように,数式を日本語の文に直すということですが,かけ算の式では,「4×3」を「4に3をかける」と読むことを教科書が慎重に避けていることの意味は,『かけ算には順序があるのか』32頁で考察しました。
メタメタ
2011/12/29 23:23
年末年始、ネット見れません。では、良いお年を。
積分定数
2011/12/29 23:44
>そんなことは思ってないって。

「いいや、そういう態度がアリアリと出ていた」
と言いそうになりましたが、考えなおしました。
別々のペンネームで書かれた投稿の、どれとど
れが同一人物なのか判りませんからね。

それはともかく、情報提供をしてくださった事
にはお礼を申し上げたいと思います。
本当にありがとうございました。

    ○    ○    ○

良いお年を。
ゴルゴ・サーディーン
2011/12/30 00:57
議事録の内容は興味深いですね。
でも「掛け算の正しい順序教育」は60年の歴史があります。
だから最近になってできたわけではありません。
60年の伝統を誰が引き継いでいるかが重要になります。

http://d.hatena.ne.jp/yotayotaahiru/20101219/1292788315

また議事録が教師用指導書と、どういう関係になっているのかが重要です。
おおくぼ
2011/12/30 05:45
でも、「逆に数式があったとき、それを日本語の文として言い直させる」って、それだけなら、状況に応じて、数式をいろいろな日本語で表現するというのは悪くないんですよね。どこかで、正しい答えは一つという思い込みと相互作用して問題を引き起こしていて悪さをしている可能性はありそうですね。

根上生也氏の倍の演算でスカラーは右からかけるんだという主張は指導書の「6×7では、6人が7つ分になり、答えは子どもの人数となってしまう」とよく似ていますね。
TN
2011/12/30 10:53
スカラーって小学校の算数と関係あるのだろうか?

管理人の積分定数さんは年末年始はネットを見れない環境にあるのですか。残念。
2ちゃんの「コピペ情報局」でも「掛け算の正しい順序教育」が話題になったのに・・。

http://news.2chblog.jp/archives/51664150.html

コメント欄を読むと、日教組の影響とか学習指導要領で決っているみたいなことが書いてあるのなあ〜。
おおくぼ
2011/12/30 11:15
文部省の研究を紹介してあるpdfを発見。

http://www.juen.ac.jp/math/journal/files/vol15/takashima.pdf

>児童の解決思考から乗法の意味の理解の実態を探ろうとしたものに文部省(1954)の調査がある。
>そこでは、児童が様々な乗法の場面をどのように捉えているかをストラテジーを選択させている。
例えば次のおはじきの数え方について、4×5を選択すれば乗法の意味を理解しているとみなし、それ以外を選択した場合は理解をしていないとみなすわけである。
おおくぼ
2011/12/30 14:50
そもそも、どうにでも解釈できるものについて、

意味を教える
意味のある公式(1あたり×いくつ分)を提示する
公式あてはめをさせる

などという発想自体がおかしいのですが…


方便として、最初の導入段階で典型的なかけ算の適用例をやるのはかまわないが、

かけ算の意味

なんてものは、もともと存在しません。


かけ算の意味なんてものは個々の子どもが、臨機応変に自分で造るものだと捉えるべきでしょう。

鰹節猫吉
2011/12/30 15:05
http://www.mext.go.jp/b_menu/shingi/chukyo/chukyo3/013/siryo/07101711.htm で浪川さん曰く、
>逆に数式があったとき、それを日本語の文として言い直させる。
>だから、1足す1イコール2というのがあったときに、
>それは1に1を足したものは2になるという、
>日本語としてちゃんと意味のある文が数式になっているんだという、
>そうした形で両方向から言葉と数式とのつながりを
>重視していくような指導がなされてほしいと思います。

この発言自体は全然問題無しですよね。

もしも複数のタコの足の総数を求める問題の文脈であっても「2×8は2本足のタコが8匹いるという意味になる」と教えたり、「2×8だと2匹の8つ分で16匹となってしまう」とか教えたりすると完全にアウトなわけです。

しかし、複数のタコの足の総数を求める問題で2×8という式が書いてあったら2匹の8本足のタコがいると解釈できるというような常識的な式の読み方を教えてくれるなら、「逆に数式があったとき、それを日本語の文として言い直させる」という教育は是非ともしてもらいたいです。

でも、情報どうもありがとう。わざわざ手間暇かけて探してくれたんですよね。本当にどうもありがとう。ぼく自身はちょっと今は時間がなくて議事録を見る暇がないので、本当に問題のある発言を見付けたら是非とも教えて下さい。お願いします。
くろきげん
2011/12/30 17:13
Twitterで出ていましたが、新サンプルでしょうか
http://okwave.jp/qa/q7206004.html
TN
2011/12/31 08:12
「質問者が選んだベストアンサー」はダメですね。

>3個 + 3個 + 3個 + 3個 + 3個 + 3個  という操作を、3個 × 6 と表す。という定義にかかわります。
>これが 6(人) + 6(人) + 6(人) = 18(人) と人数を求めるものでないことは明白です。

サンドイッチ理論の「定義」を説明しているだけですね。
おおくぼ
2011/12/31 10:47
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20101123Kakezan.html#jirei2
から色々リンクをたどればわかるように、東京都教職員研修センターの平成17年度の報告集(金魚を例に足算の順序を逆にしてはいけないと書いてある)は平成11年5月発行の学習指導要領解説算数編から式の扱いに関する部分を引用しています。

http://www.mext.go.jp/b_menu/shingi/chukyo/chukyo3/013/siryo/07101711.htm
の教育課程部会は平成19年ですよね。そこでの発言がまわりまわって東京都教職員研修センターに影響を与えたということはありえませんね。
くろきげん
2011/12/31 15:32
http://okwave.jp/qa/q7196103.html

temmusu_nagoyaさんの発言は必読。学習指導要領解説に「具体的な場面にお いて,交換法則,結合法則,分配法則が 成り立つことについて理解させてきてい る」とある!「具体的な場面において」!!!
くろきげん
2011/12/31 22:35
「掛け算の正しい順序教育」を歴史的な考える時は、メタメタさんや「よたよたあひる」さんが注目している小学校学習指導要領・算数科編(試案)昭和26年(1951)改訂版が重要ですね。

http://www.ha.shotoku.ac.jp/~ishihara/shidou/s27/shou/sansuu.html

http://www.nier.go.jp/guideline/s26em/index.htm

http://d.hatena.ne.jp/yotayotaahiru/20101219/1292788315

「よたよたあひる」さんが引用している部分が特に重要です。
謎は、誰が伝統を引き継いでいるかですね。
1951年当時の文部省の担当者で重要な人物は和田義信さんと中島健三さんです。
委員名簿には矢野健太郎さんの名前もありますね。

おおくぼ
2012/01/01 16:37
補足

1951年当時の文部省の担当者だった和田義信さんと中島健三さんと島田茂さんは文部省を退官した後、それぞれ東京教育大学(後の筑波大学)、東京学芸大学、横浜国立大学の教授に就任して、多くの弟子を育てました。
おおくぼ
2012/01/02 13:08
Z会の抜粋

http://petapeta.tumblr.com/post/14948002655/z-2

>そして、実際の添削指導では、
>・ 乗法の導入段階で(上記で言う)「5×4」を「4×5」と表記してあったら、「○」にした上で「乗法の意味を理解できていますか?“5×4”とすることが多いんだよ」などのコメントを入れる。
>・ 3年生以降であれば順序の入れ替えはコメントもせず無問題とする。

かなりの進歩だけれど、矛盾は残ると思う。
この方法では三年生以降も掛け算の順序を気にする生徒はいると思う。

おおくぼ
2012/01/02 20:05
導入時に「掛け算の正しい順序」を教えた場合は、掛け算に慣れた生徒に対して「本当は小学校の掛け算には正しい順序はありません」という告白しなければいけないと思う。
おおくぼ
2012/01/02 20:23
今実家から戻ってきました。

今年は、災害も戦争もかけ算の順序もない世の中であって欲しいですね。

ということで、まずは新年の挨拶でした。
積分定数
2012/01/03 01:48
http://blogs.itmedia.co.jp/magic/2011/12/6886-2d5b.html?cid=48277633#comment-48277633
で、根上生也氏に質問したが、特に反応はないようである。あらためて疑問点を書く。

「これは算数の話であって数学の話は関係ありません」という順序派の言葉をそのまま投げかけたい。

>私も掛け算の順番を間違えただけで単純に×にするのはよくないと思いますが,貴兄の娘さんの先生はきちんと指導されている可能性がありますよ.

「バツにするのには同意しない。」と言う言葉は、その後に続く主張に対する批判・反論への免罪符とはならないことを確認しておく。根上生也氏がそうだというわけではないが、どうも一部の人は「自分自身はバツにすることには反対」と一言言うことで、順序擁護論・反反順序論が批判されないと勘違いしている節がある。

「自分自身はバツにすることには反対」なら、まずはバツにする教師なり教え方を批判すべきなのに、それは一切やらないで、むしろ擁護する。

 瀬戸智子氏は典型。

積分定数
2012/01/03 04:04
「可能性」なら何とでも言えるが、色んな事例を知っていると、私は、「貴兄の娘さんの先生はきちんと指導されている可能性がありますよ」などとはとても言えない。

根上生也氏はどの程度、現実の算数の授業を知っているのだろうか?

 私もあまり知らないし、様々な情報から推測するしかない。多くの教師はきちんと指導していて、私が得たろくでもない授業の事例は極めて希、あるいは誤報だという可能性もあるが、そうであるなら、そのことを具体的に指摘して欲しい。

 単に、根上生也氏が「順序に拘る教え方に合理性がある」と考えているから、「教師もちゃんと教えているのだろう」というのは、かけ算の順序論争の中では何周も遅れた話である。

 現にコメントでも

>私の息子も直方体の体積を求めるテストで、似たようなケースでバツをもらってきた事があります。
息子曰く、直方体の体積は縦×横×高さなので、この順番をきっちり守って式を作らないとバツだという事だそうです。
息子にはそっちの方が間違いで、どっちでも結果は一緒である事を話したら「え!そうなの?」と言ってました。

という事例が報告されている。こう言うのを読みながら、「貴兄の娘さんの先生はきちんと指導されている可能性がありますよ」などというのはあまりのも脳天気だと思う。

 現政権の政策への批判に対して、「政治家の人も一生懸命考えていると思いますよ」というようなものである。
積分定数
2012/01/03 04:15
根上生也氏は、単位の話と、ベクトル空間におけるスカラー倍の話をごっちゃにしたあとに後悔してか

>しかし,現代数学の枠組み自体が一般の方には浸透していないのに,それを引き合いに出して解説したのは,かえって混乱を招いたかもしれませんね.

とコメントした。

私は、「現代数学の枠組み」はよく知らないが、ベクトル空間を、加法と環上のスカラー倍で閉じているととらえるという話は理解しているつもり。

それでも分からなかった。
積分定数
2012/01/03 04:33
>ちなみに,算数教育の世界では,積は2つの数から作られるものですが,倍概念は「3倍する」「×3」というオペレータとして扱われることもあります.

という算数教育上の概念を

>いずれにせよ,掛け算には積と倍という2つの概念があります.

などと、本質的な概念として記述するべきでないと思う。

瀬戸智子氏も同様。
http://ts.way-nifty.com/makura/2009/07/post-4df6.html

>たし算の意味は小学校では「合併、添加、増加」の3つです。
>引き算はたし算の逆思考で、合併には求補。添加には求残。増加には求差と対応しますが

>かけ算の意味は3つあります。
1つは今では一般的になった「1あたりの数×いくつ分=全体の数」です。
2つ目は「基になる数×倍=比べる量」、つまり割合です。
3つ目は「長さ×長さ=面積。面積×長さ=体積」など新しい乗法単位を作るための演算です。

>割り算の意味は、「等分除、包含除、倍」の3つでかけ算の逆思考です。

こういう主張を見るとイライラする。
積分定数
2012/01/03 04:40
瀬戸智子さんの場合、「それは教える上での概念ですか?それても、本当にそういう概念があるという考えですか?」と何度も質問するのだが要領を得ない回答。何度もしつこく質問してやっと、瀬戸智子さんがこれらの分類が本当にあると考えていることが判明した。

>等分除と包含除は明らかに違います。
積分定数
2012/01/03 04:58
ところが、瀬戸智子さんはその後に↓のようにも言っている。教える上での概念かそれとも本当にそういう概念があると思っているのか?と何度も質問しているにもかかわらず、全くピントはずれな回答をする。

▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽
最後の締めの言葉についてだけお返事します。
つまり、「割り算同様、足し算・引き算に、教える場合の便宜的意味の違いでなく、そもそもそれぞれ複数の意味があるということについての、せとともこさんの認識を確認したいというだけですが。」と言う質問です。


はい。
小学生にとっては、キチンと区別して教えていく必要の有る概念です。

大人にとって何気ないことでも小学1年生にとっては、
たし算の魔法なんですよね。
どういう言葉で書かれてくる問題がたし算に、
またあるときは引き算になるか、、、
を、しっかりと見ていくためには国語の力によるのですが、、、
「合併、添加、増加」は子どもにとって明らかに違う文法なのです。
「合併、添加、増加」がたし算で求めることが出来るということを教師は教えますが、
教科書作成のときは、どの順番で教えると子どもが速やかにたし算の演算になじむかと、研究されています。
順番としては「合併、添加、増加」がいいとされているのですが、この頃の算数は合併と添加が一緒に出てくるので、
子どもたちは戸惑う場合があります。
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積分定数
2012/01/03 05:07
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先日、kikulogのきくちさんのブログやかけ算の式の順序にこだわってバツを付ける教え方は止めるべきであると言う黒木玄さんの記事を読んで考え込みました、、、
そして、
そして、
かけ算と言う演算を導入する際の公式(1あたりの数×いくつ分=全体の量)を理解させる事と指導することと、順番はまったく別の次元であることに気がつきました、、、、
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と書いてあるけど、あまり理解しているようには思えない。
積分定数
2012/01/03 05:10
>「でも、質量×速度という値が、意味を持つから運動量が定義されているのですよね。
質量1と速度3  質量3と速度1 これらは「何か」が等しい。具体的には、静止したある物体にぶつけてそのあとその物体と一体となった場合の速度は、前者も後者も等しい。
つまり、運動量という物差しで見たら「同じ」。

という私の発言に対しての

>これは数学では正しいのですが、物理では、問題にするのは運動エネルギーだから、両者は明らかに違います。数学的に正しくても、自然界はそのファクターだけで動いているのではないから、「単位」についての理解を教えていくことは重要だと私は思っています。

というコメントも意味不明。
積分定数
2012/01/03 05:13
 算数・数学それ自体は非常にシンプルで美しいものである。

 とはいえ、そこに行き着くまでに、具象の中で試行錯誤することも大切である。

 しかし、算数そのもの、数学そのものを理解しないで、算数教育について勉強すると瀬戸智子氏のような勘違いをしかねない。
積分定数
2012/01/03 05:19
倍だの積だの、包含除、等分除だの、合併・増加・添加だの、求残・求補・求差だの、内包量・外延量だの、何だのかんだの、

ウザイ!

私自身、そんな概念知らなかったが、数学の理解には何の支障もなかった。
積分定数
2012/01/03 05:21
 何度も言うが、教える上での分類・概念としてなら理解できる。

私も1つ作ってみよう。

かけ算には、「分配」「所有」などがある。

分配とは、何人かに者を配るときにどれだけ必要かという問題。分配はさらに、「果物分配」「文房具分配」などに分けられる。

「所有」は、分配と異なり「最初から持っている」。8本脚のタコ2匹の脚の数を8×2で求めるのは「所有」

2人に8本のボールペンをあげるのとは全く異なる問題である。これが両方とも、8×2で求められるというのは、大人には自明でも子どもにとっては、そうではない。
積分定数
2012/01/03 05:29
私が数学指南書を書いて、上記のようなことを言ったとすると、

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大人にとって何気ないことでも小学2年生にとっては、
かけ算の魔法なんですよね。
どういう言葉で書かれてくる問題がかけ算になるかをを、しっかりと見ていくためには国語の力によるのですが、、、
「分配、所有」は子どもにとって明らかに違う文法なのです。「分配、所有」がたし算で求めることが出来るということを教師は教えますが、教科書作成のときは、どの順番で教えると子どもが速やかにかけ算の演算になじむかと、研究されています。
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なんて書くのかな?
積分定数
2012/01/03 05:34
> 何度も言うが、教える上での分類・概念としてなら理解できる。


いわゆる

傾向 と 対策

というやつですね。


どういう問題が出てくるか分類しておいて、まんべんなく出題するようにする。

教える側が算数自体を理解していれば良いが、分かってない人が教えると、

等分除 と 包含除 の 問題はわり算。

という公式にあてはめるのが算数だと勘違い。

さらに病気が悪化して、

わり算をかけ算の逆算として教えちゃいけないんだ!

さらに病気が悪化して、

等分除と包含除があるから、かけ算も1あたりといくつ分の区別をしないといけない。

さらに病気が悪化して、

全ての児童が 1あたり と いくつ分 を区別するようにしないと わり算 の授業ができなくなる。

さらに病気が悪化して、


1あたり いくつ分 を区別させるために かけ算の正しい順序 を強要せねばならぬ。

1あたり と いくつ分 の区別する偉大な理解はなんと素晴らしいものであるか!


社会病理現象である。

鰹節猫吉
2012/01/03 12:49
>教える側が算数自体を理解していれば良いが、分かってない人が教えると、等分除 と 包含除 の 問題はわり算。という公式にあてはめるのが算数だと勘違い。

包含除だの等分除だの、求残だの求差だのといった、算数教育用語が出てきて、「それらは便宜的な区別に過ぎなくて、本当はそういう区別は出来ないんだ」という文言がない場合には、眉に唾を付けて話を聞いた方がよさそうですね。

 内包量・外延量に関してもそう。

 瀬戸智子さんは自分が「区別できる」と誤って認識しているので私の質問にも頓珍漢な回答しか出来ないのだと思います。で、一生懸命「子どもには〜」と主張する。

 5人いるところに3人やってきた場合と、5人と3人が同時に来た場合で「違う」というのは、それはそれでわかりにくいように思うのだが、それを指摘すると、「それは出きる子の視点だ」と言う。

 そして、技術開発者氏みたいな人が、これまた「出来る人は出来ない人を待てばいい」などと、頓珍漢なコメントをする。

 頓珍漢な人が2人もいると、頓珍漢の2乗で、何を言っても無駄ですね。

積分定数
2012/01/03 14:03
あと、順序派って基本的論理力が欠落しているのではないかと思うことがある。

「かけ算の意味を理解させるために順序」
「出来ない子のための順序」

だから、「順序を否定するのは、意味や考え方なんかどうでもいいということである。出きる子の視点しかない」という。

「Aという目的のためにBという手段がある」

この場合、手段Bが目的Aのために本当に有効なのか?仮に有効だとしても、弊害はないのか?

などと当然検証されるべきだが、

Bを批判すると、Aをも否定するかのように受け取る困った人たちがいる。

アフガン戦争やイラク戦争を批判すると「テロを容認するのか!?フセインの核開発を容認するのか!?」と短絡的に反論するアホがいたが同じ構造。

 戦争もかけ算の順序も、メリット・デメリットを検証して、「だから必要だ」という意見であれば聞く価値はあると思うが、そういうのはあまり見たことがない。

積分定数
2012/01/03 14:10
「掛け算の正しい順序」は憲法9条と似ていると思う。
「自衛隊と憲法9条は矛盾しないの?」という質問に教師は答えらないと思う。
そして「憲法9条は素晴らしい」と根拠もなく教えるしかないと思う。
おおくぼ
2012/01/03 17:17
 憲法というか、法律だと思った。

黒木玄さんのツイッターより

>「文章題での立式ではひとつあたり×いくつ分の順に掛算を書かなければ誤りだとする教え方は正しい」と主張する人を見かけたら、まず次の質問をする方が良い。「一般社会では具体的場面を掛算で表わすときにひとつあたり×いくつ分の順序で書くというルールないですよね?」

>驚くべきことにこの常識レベルの話で「ある」と言い出す人がいるので要注意である。

「かけ算の順序」を「法律」と読み替えてみる。「法律は守らなくてはならない。」というのは正論だろう。一方で法律を律儀に守っていたら、社会生活を営む上で支障をきたすだろう。少なくとも私はそうである。横断歩道がなかろうが、歩行者用信号が赤だろうが、安全だと判断したら道路を横切る。多くの人は適当なところで折り合いを付けているのだと思う。闇市を拒否して餓死した検察官というのは希な例だろう。
 じゃあ、「みんな法律を厳格に守っているわけではなく、折り合いを付けている。法律を守りましょうと教えても、社会に出る段階では、『まあ、皆さんはもう大人だから、そのあたりはその、まあ、察して下さい』ときちんと教えるのですよね?」と言って、「もちろん」と答える教師はいないだろう。
積分定数@ビール飲んでいる最中
2012/01/03 22:14
あるいは、国語の教師に

「貴女」を「あなた」と読んだり、「私立」を「わたくしりつ」と読んだり、「化学」を「ばけがく」と読んだりするのは正しいのか?

と聞けば、おそらく「正しくない」と答えるだろう。

私も含めて数学関係者が好んで使う「求まる」も「正しくない」と言うかも知れない。

 「巷で流布していることは本来は間違いだ」と考える人はいるだろうし、その考えに合理性がある場合もある。

 「私立」や「化学」を「わたくしりつ」「ばけがく」と読むことは、「市立」「科学」と区別するという意味で合理性があるが、「そういう読み方は誤りである」という考えにも合理性がある。

 かけ算の順序は一辺の合理性もないのだが、唱える人が「合理性がある」と思い込んでいて、「本来は正しい順序があるのだが、中学以降は余りうるさく言わない」と思っているのが厄介。

「本来は順序はないのだが、小学校では存在しない規則を存在するかの如く指導して、嘘を教える」が真相なんだが。
積分定数@ビール飲んでいる最中
2012/01/03 22:29
やっと気づきました。

http://blogs.itmedia.co.jp/magic/2011/12/6886-2d5b.html
のコメント欄の根上生也氏は数学者の根上生也氏なんですかね?本物?もしも本物ならば、数学者として超恥さらしだと思うし、偽物ならば根上氏の名誉を失墜させる行為で相当に悪質だと思いました。

ぼくの感覚だと、同業者(数学の研究者)があの文脈で「数学者は掛け算は,非可換な演算の象徴として扱うことが多いです」という発言するのを見たら、見ているだけで恥ずかしく、顔を赤らめざるをえません。

くろきげん
2012/01/03 23:12
以下引用

>根上生也 2011/12/29 07:03
>私も掛け算の順番を間違えただけで単純に×にするのはよくないと思いますが,貴兄の娘さんの先生はきちんと指導されている可能性がありますよ.
>多くのみなさんはa×bを単純な計算手順としかとらえずに,a×b=b×aと主張することは数学的だと思っているようですね.
>しかし,数学者は掛け算は,非可換な演算の象徴として扱うことが多いです.
>いずれにせよ,掛け算には積と倍という2つの概念があります.
>積は通常単位を伴う2数を使って別の次元の単位をもつ数を作ります.
>辺の長さから長方形の面積が求まるように.一方,倍概念は単位を変化させません.
>ベクトルのスカラー倍と考えてもよいです.
>この場合には明らかに掛け算には順番があります.
>ベクトルのvのa倍はavであって,vaとは書きません.
>avは日本語の順番と逆ですが,英語だと同じです.
>リンゴ2個とtwo applesのように.
>「先に書いた数字の単位が答えの単位になる」というのは,このスカラー倍の説明で,積の説明ではありません.
>積と倍を区別して指導をしている先生はりっぱです.
>数学を計算手順の集まりとしか考えていない大人が増えてしまうことに私は懸念しています.
おおくぼ
2012/01/04 00:07
何ですか?

次元の話にベクトルの公理とか持ち出してウダウダ言っておるんですか?


ボクちゃん、頭いいんだもんねとヒケラカシでしょうか?

そんなもん、似非物理学でしょう。

鰹節猫吉
2012/01/04 00:24
完全に雑談。

ちなみにぼくは可換体上のベクトル空間を扱うときには av でも va でもどっちでもよいことにして線形代数を教えたいと思っています。

非可換環上の加群で基底を用いた線形写像の行列表示の話をしようとすると va の流儀(右加群)でやらざるをえなくなるという事情があって、非可換派なら余計に va を拒否できないのだw
くろきげん
2012/01/04 01:03
 ビール飲んでばたりと寝てしまって、しばらく前に目が覚めた。ぐっすり寝たからなのか、目がさえてしまった。飲んで寝た後に目覚めるとやたらと喉が渇く。エタノールが酸化して、アセトアルデヒド、さらに酢酸になるのに水が必要なのだろうか?

 センター試験がそろそろ近づいてきたので、有機化学もまた覚えないとならない。私、毎年正規に受験しているのだが、実は数学が苦手。制限時間内に計算ミスなく解答欄を埋めるのがすごく苦手。何年か前には、塾の生徒(文系)より点数が低くて、「先生、なにやってんの〜」と思いっきりバカにされた。うちの塾に入れば、センター数学、私よりも高得点が可能ですw
積分定数
2012/01/04 03:42
 ベクトルや行列のスカラー倍って、どっちからかけても構わないのは分かるが、慣れの問題で、左からかかっている方が落ち着く。焼き魚の頭が左向きが落ち着くようなもの。これも状況次第で、鰈は右向き。

 ところで、左平目の右鰈、とは言うが例外もあって、ヌマガレイは左向き、さらに左右が決まっていない種類もある。

 そもそも、鰈と平目を分ける必要性があるのだろうか?「カレイ」をカレイ目の総称として、平目はその中のグループとするなら、分ける必要はなくなる。

 蛾と蝶の区別も同様で、鱗翅目の総称が「蛾」、その中で特に綺麗で昼間飛ぶ種を「蝶」と捉えればよさそうだが、「蝶は蛾とは違う」という人間の都合もあるのだろう。目の名前は種名、例えば哺乳類で言えば翼手目→コウモリ目、というような流れの中で、鱗翅目は、その中の圧倒的多数が「蛾」であるものの、「チョウ目」と命名された。

 さて同様に、単位が変わるかけ算を「積」、変わらないかけ算を「倍」と区別する必要があるのだろうか?

 掛ける量の片方がたまたま無次元なら単位は変化しないというだけのことだと思えば、ことさら「倍」を「積」から分離独立させる必要性はない。

 力のモーメント×角度=仕事 

で、力のモーメントの単位=仕事の単位=ジュールだが、これを「倍」とみなすのは無理がある。 力のモーメントが6ジュールで、角度が2radだった場合、仕事は12Jだが、「力のモーメント6ジュールの2倍」は、あくまで「力のモーメント12ジュール」であって、これはエネルギーではない。
積分定数
2012/01/04 04:19
 私自身、単位の計算で苦しんできた。「あれ?足し算を間違ったのかな?おかしいな、ちゃんとあるはずだったが、まさか留年?」という恐ろしい夢を未だに見る。

 そんな単位計算の苦手な私が言うのも何だが、かけ算の順序の話で単位がどうのと出てきたら胡散臭いと警戒した方が良い。

 私自身が、単位をきちんと理解して処理できるようになったのは高校で物理を勉強してから。そのとき初めて、「あれ、1個100円の品を3個かったら、100円×3個=100円個になってしまう。そうか、単価100円だから100円/個なのか」と自問自答して納得した。

 逆に言えば、単位に関しては、単位同士を掛けても矛盾しないように調整してあるとも言える。

 高校物理まで正しい単位の処理についてハッキリと認識していなくても、特に困らなかった。

 時速50qで3時間走る。距離は?

1時間で50qだから3時間で150q

こういう素朴な理解で全く問題ない。

3時間で200q、6時間では?

3時間が2つ分だから400q

「1あたり量」などという概念も全く不要。私自身は「1あたり量」というのを聞いて、「そういうことか」と理解は出来る。かけ算について理解してるから、「1あたり量」が理解できるのだが、「1あたり量」によってかけ算が理解できるのかは甚だ疑問である。

 私自身が、そんなもの不要であった。そういうと「1あたり量」信奉者が、「それは出来る人の視点だ」と言うかも知れないが、

 素朴でシンプルなものに、あれこれ人為的概念を付け加えることで、「出来ない子にわかりやすい」となるのだろうか?

 「秋刀魚は目黒に限る」という発想は、数学を教える上で重要だと思う。
積分定数
2012/01/04 04:24
 ベクトルや行列のスカラー倍の話に戻る。

スカラー倍を行列の積と捉える。つまり、スカラーを1行1列の行列とみなすとする。aをスカラー、vをベクトルとすると、vが行ベクトルならav、vが列ベクトルならvaとなる。

と思ったが、一般の行列のスカラー倍を1行1列の行列の積とみなすのは難しいので、やはりスカラー倍は別個に定義した方がよさそうである。

 で、右からの積と左からの積で違いが生じる場合があった記憶があるのだがと思ってちょっと考えた。

 線型微分方程式の一般解は、関数を無限次元ベクトル空間とみなすと、線型写像の核空間を求めることに帰着する。

d^2y/dx^2−5dy/dx+6y=0を考えてみる。

D=d/dxとする。
(D^2−5D+6)y=0
(D−2)(D−3)y=0
(D−2)y=0 (D−3)y=0
y=Ae^2x y=Be^3x
つまり一般解は、y=Ae^2x+Be^3x

ポイントは、D^2−5D+6=(D−2)(D−3)という因数分解だが、

係数が定数ではなく関数となると途端に厄介になる。
積分定数
2012/01/04 05:08
{D^2−(x^2+x^3)D+6x^5}y=0

これを解くのに、D^2−(x^2+x^3)D+6x^5=(D−x^2)(D−x^3)などと迂闊に変形できない。

(D−x^2)(D−x^3)y=
D^2y−x^2Dy−D(x^3・y)+x^5・y
=y''−x^2・y'−3x^2・y−x^3・y'+x^5・y

{D^2−(x^2+x^3)D+6x^5}y=
y''−x^2・y'−3x^2・y+x^5・y

つまり、
D^2−(x^2+x^3)D+6x^5
(D−x^2)(D−x^3)
(D−x^3)(D−x^2)

これらは互いに異なる。

何故こんな奇妙なことになるのか?正確に言うと、何故これを奇妙と感じるのか?

それは、関数fをスカラーと思い込んでしまっているから。fはあくまで無限次元ベクトル空間の元。関数同士の積は、「ベクトルの元同士に積が定義されている」と捉える。

こう捉えれば、スカラーのように場所を安易に移動させてはならないことが分かる。DfとfDは異なる。

 こういう場合は、原点に立ち返り慎重にやらなくてはならない。原点とは、あれやこれやの人為的恣意的概念のことではない。

 人為的恣意的概念はむしろ邪魔である。

 私がこれまで数学を何とかやって来れたのは、人為的恣意的概念に頓着しなかったからである。というか意識すらしなかった。

 かけ算に倍と積の2種類があるなんて発想すらしなかった。

 4人に3個ずつ蜜柑を配る。1人に3個配ると考えたら、その4倍、3の4倍。4人に1個ずつ配ると考えたら、その3倍、4の3倍。4の3倍なのか?3の4倍なのか?あるいは、3個/人と4人の積なのか?

なんてことを悩むことはなかった。こんな事にいちいち悩んでいたら、数学なんかやってられない。
積分定数
2012/01/04 05:09
 かけ算の順序について考えるには

A 算数・数学それ自体の理解
B 算数教育・数学教育の理論の理解
C 算数教育・数学教育の現状の把握

の3つが必要だと思う。おかしな事を主張する人の多くは、A,B,Cのどれかが欠落している場合が多い。

 合併だの添加だの包含除だのの算数教育用語をちりばめて順序擁護論を展開した瀬戸智子氏は、AとCが欠落している。

根上生也氏は、同名の数学者と同一人物かどうかはおいておいて、とりあえずhttp://blogs.itmedia.co.jp/magic/2011/12/6886-2d5b.htmlでHNを「根上生也」と名乗っている方は、Cが欠如している。或いは無視している。
積分定数
2012/01/04 05:31
私自身に関しては、

Aは高校数学までは一応理解しているつもり。センター試験で文系の生徒よりも点数が低いが、理解は高得点の十分条件ではないので矛盾はない。

Bに関しては、ここ数年本を読むなどして、算数教育の独特の用語の意味が何となく分かるようになったが、「そんな概念何のために必要なのか?」と疑問に思えることも多い。勉強し続ければ「なるほど、内包量と外延量というのは大切な概念だ!」と膝を打つ瞬間が来るのか、甚だ疑問である。

Cについては、断片的に色んな情報を集めているが、全体像は分かっていない。順序に拘る教え方がどの程度の比率で行われているのかも不明。

 小学生の振りして授業に潜り込めたらいいのだが。

 ついでに小学生になってしまって人生やり直せたらいいのだが。


 という訳で私を批判したい人は、BやCあたりを研究して攻めるといいかも知れません。

 ただし、Bに関しては注意が必要。瀬戸智子さんが典型だけど、「足し算には合併と添加があります」などとドヤ顔で言われても、「それってどう違うの?本当に違うの?そんな区別が有用だという根拠は?」と聞き返すことになります。そのとき、「そんなのは算数教育の常識だ」では答えになりません。私は算数教育の素人なので、素人にも分かるように説明して欲しい。
積分定数
2012/01/04 06:26
 目が覚めてテレビを見たら、田原総一郎、漫画家の山本直樹、元連合赤軍の植垣康博さん(面識あるしマイミクだから敬称つきw)が出ていた。植垣さんはH大学理学部物理学科中退でまさに私の先輩にあたるw

 その中で彼は連赤事件を、「原理主義だった」と言っている。宗教に限らず政治運動にも原理主義がある。文革がそうだろうし、右翼思想は「本来の正しいあるべき姿に戻そう」という点で本質的に原理主義だと思う。

 ところがこの原理主義という奴は、そういうストイックな宗教・政治運動だけに存在するのではなく、様々な場面に顔を出す。

 原発に関して、賛成なり反対なりの立場を決めて、その立場を強固にするような情報を集めて論を立てるというのも、ある種の原理主義だと思う。

「かくかくしかじかこういうわけで私は原発に賛成/反対である」

という主張は建前的形式的には、「かくかくしかじかこういうわけ」が先にあって、その結果「だから私は原発に賛成/反対である」となっているのだが、実際には、「私は原発に賛成/反対である」が先に来ているように思える場合が多々ある。

 「かけ算の順序」「1あたり量」「内包量・外延量」も原理主義だと捉えると理解しやすい。

 「かけ算の順序」を正当化するために、ありとあやゆる屁理屈が動員される。それに逐一つき合うのは面倒だし得る物もない。これは、「かけ算の順序」が目的になってしまっているから。
積分定数
2012/01/04 06:48


 「1あたり量」原理主義も厄介である。「1あたり量」の大切さを切々と主張する人自身は、どうやってかけ算の概念を獲得したのだろうか?「1あたり量」の概念はかけ算を理解する上で本当に必要不可欠だっただろうか?

 「1あたり量がどれか分からなくて式を立てられない」という子どもの嘆きを間接的に聞いたことがある。
「1あたり量を理解すれば容易にかけ算を理解できる」としても、「1あたり量を理解すること」自体が容易に出来ないなら意味がない。

 子どもにとって「1あたり量」などという概念は、内側から理解していくものではなく、外から教え込まれた異物かも知れない。

 教えている人自身にとっても、内側から出てきた概念ではないかも知れない。

 700円の3割は?

ア 1あたりを全体(10割り)と捉えて、1あたり700で0.3個分
イ 1あたりを1割りあたりと捉えて、70×3
ウ 1あたりを1円あたりと捉えて、1円の3割は0.3円、1円あたり3円だから700円は0.3×700

どれをを発想するだろうか?

私はどちらでもない。100円の3割が30円だからその7倍と考える。ア〜ウの中ではウに近い。もちろんこれが唯一の正しい方法というわけでもない。

 しかし、800円の5割りはどうだろうか?多くの人は半分だから、敢えて式にすれば800÷2として400円を出しているのではないだろうか?「1あたり量」など必要だっただろうか?

 つまり我々は、必ずしも「1あたり量」だとか、全体×割合などという式を使って計算しているわけではなさそうである。
積分定数
2012/01/04 06:50
 一方で、800円の5割を800×0.5という式で求めることに抵抗もないだろう。

 それは、800×0.5と800÷2が同じ事であると瞬時に分かるからである。

 700円の3割を100円の3割が30円でその7倍という具合に求めている私も、

700×0.3という式に違和感を持たない。瞬時に求まることに関してそれを分析することはあまりしないから、700×0.3という式を立てて、それが30×7と同じ事であると認識するのは殆ど瞬時の出来事である。

 しかし改めて考えるに、子どもに700円の3割を求めさせるときに、700×0.3という式を立てさせることは人間の素朴な認識に合致しているのだろうか?

 順序派がよく言う「大人の視点からはそう見えるが子どもにはそうは見えない」というのはこういうときにこそ当てはまるのではないだろうか?

 もっとわかりやすい例。100gの23%。これを、
100×0.23 などと計算するだろうか?
「全体を100としたときのいくつ分か」というパーセントの意味さえ掴んでいれば、最初から100になっているこのケースでは、瞬時に23gと出すだろう。

 厄介なことに、教えている人自身は、本当はそうやって求めているわけではないのに、全体量×割合で求めたように錯覚してしまっている。

 だから、全体量×割合という式を書けるようになることが割合を理解することだと勘違いして一生懸命教え込む。

 これもある種の原理主義に囚われていると思う。立式原理主義とでも言おうか・・・
積分定数
2012/01/04 06:54
数式というのは暗号にしか思えない。
数式とは外国語みたいなもので、理解できる人には理解できると言語だと思う。
どうして理解できるかと言えば、具体的なイメージが数式から読み取れるからだと思う。
日本語を理解できない人は日本語は暗号にしか思えないと思う。



私の場合「スカラー」という言葉に具体的なイメージが持つのが難しい。
「ベクトルから方向を除いた概念」と考えればいいのだけど、どうしてそんな概念が必要なのか悩む。
「便利だから」と言えばそうなのかもしれない。

「次元」という言葉も難しい。
多義語だ。
例えばレイノルズ数という無次元数がある。
これは凄くおもしろいのだけれど、魔法のような気がする。
フラクタル幾何学もそんな感じが個人的にする。
「スカラー」は1を掛けるのと同じで次元は変わらない。
それじゃあ「無次元とはゼロを掛けるのか?」と早とちりしたくなるけど、違う。
なんか魔法のような操作だ。
騙されている気分になる。
おおくぼ
2012/01/04 06:59
 反順序原理主義というのもあり得る。

 それに陥らないように、順序肯定の理論も積極的に見たいと思っているだが、お粗末なものしか見あたらない。私自身が反順序原理主義に陥っていて、「順序派の意見は全てお粗末」という先入観を持ってしまっているからかもしれないと
いう不安もあるのだが、実際お粗末としか言いようのないものが多数なので、不安は払拭できる。

 もちろん、納得できる順序肯定論が登場したら、宗旨替えする可能性もある。「絶対に宗旨替えしない」と言ってしまうと、これは原理主義になってしまう。
積分定数
2012/01/04 07:02
根上生也さんと名乗る人のコメントは、言語比較の箇所もおかしい。

>avは日本語の順番と逆ですが,英語だと同じです.
>リンゴ2個とtwo applesのように.

英語と同じ順番だからと言って、正しいという根拠にはならない。
掛け算の順序が英語では(倍)×(基準数)で、日本式と逆ということは無視するのだろうか?

行列の積は順序が大事という人は、行列の場合は積の順序を変えると答えが変わるということを無視していると思う。

おおくぼ
2012/01/04 07:09
http://blogs.itmedia.co.jp/magic/2011/12/6886-2d5b.html
>先生しつも〜ん!さん
> でもそんなことより大切なことがあります。この議論に参加して気づいたのは、
バツ反対派の中には色々な人がいて、自分が不勉強な人(立式できない人、単位の理解が
できていない人、今回の設問にすら答えられない人=12/30 17:43, 17:50)が混じっている、という事です。積分定数さんのご活動やご発言が、これらの人々(ある意味、モンスターペアレント予備軍)から学校の先生への攻撃に利用されてはいませんか。色々と問題はあるかも知れませんが、「ひとつ分の量」×「いくつ分」による積の定義と順番固定によって児童が身につけていくものは非常に大きいと私は考えます。事実、多くの子ども達は正解を出しているし、そうなるように先生方も頑張っておられる。基本的には良い教育が行われている訳ですから、そのレベルを下げるような方向へ持って行くのは避けて頂きたいと思います。
積分定数
2012/01/04 21:44
私の意見がモンスターペアレンツに利用されることについては、そうあって欲しくないと思っています。しかし、その可能性があるからと言って、おかしな指導法をおかしいと指摘することをやめるわけには行きません。「かけ算の順序」を擁護する主張が、長方形を横×縦で求めるとバツにするモンスターティーチャーを助長するわけで、お互い様だと思います。
 また、「順序はどっちでも構わない」という指導でも、多くの子どもたちは正解を出します。なぜ「どっちでもいい」という正しいことを教えることがレベルを下げることになるのでしょうか?

>そうなるように先生方も頑張っておられる。

とのことですが、主観的に良かれと思っているから、頑張っているから、ということが必ずしも客観的に良い教え方とは限りません。

 地獄への道は綺麗な薔薇で舗装されている

 多くの教師が一生懸命、有害無益な順序を教え込むことに腐心しているのです。

積分定数
2012/01/04 21:51
>どうもな〜さん

>積分定数さん
>>本気で順序があると思い込んで、「だから逆順は間違い」という人もいれば、「かけ算の概念を理解させるため」という人もいます。後者の人に、「じゃあ前者のような勘違いする人が多数いることはどう説明するのか?」と質問するのですが、誰1人まともに答えてくれたことはありません。

>これは通りすがりさんなどがそれなりに答えられていると思いますが、、
勘違いする人間が多少はいても仕方がないということです。教育も時間がかかるので全員に正しい認識をさせるのは無理というだけです。
(教育などの話において例外をあげつらってもは反証にはならないとおもいます。これは数学の話と違うところです。事実日本の教育は満点ではないでしょうがそれなりにはうまくいっていて、大多数の人が8×6でもただしいと認識していますよね?)

>あくまで効果的な教育論という論旨なので、全員に例外なくただしい認識をさせるということははなから諦めるべきだし、それは正しいやりかただと思います。

>でも、上記のような話は教育者としてはなかなかいいづらい話なので、あまり反論がでないというだけだと思います。教育に完璧をもとめるのは、教師に聖性をもとめるのなどと同じで積極的に間違いだと思います。その(教師や教育に求めすぎているという)点もこの話の背景にはあると思うので、実は合わせ鏡で社会の側にも悪かった点があるのでは?とは個人的には思います。
積分定数
2012/01/04 21:54
勘違いしている人、しかも教師は、例外的ではなくて相当数いると推測されます。

 百歩譲って、「順序の指導が有効」とします。しかし、多くの教師が、方便としてではなく本当に順序があると思っているのです。

 「単位のサンドイッチ」と指導することは、手段である「順序」を目的にしているわけで、勘違いしている証拠です。

 さらに、サンドイッチは、手段の手段をルールと思っているわけで2重の誤謬です。

 ところがサンドイッチをルールだと思っている教師は少なくありません。

http://suugaku.at.webry.info/201102/article_2.html
>小学校教員 31 歳
>抑々 4 × 5 には, 4 の五倍という意味があります。 4 人の五倍では答が 20 人になってしまいます。 これでは問題文の内容を理解しているとは言えないのではないでしょうか。

面倒なので事例の提示はこれだけにしておきますが、サンドイッチルールなる嘘出鱈目を信じている教師は多いです。
積分定数
2012/01/04 22:11
 長方形や台形、平行四辺形、三角形なども面積にまで順序に拘る教師も、それほど多くはないものの、極めて希なケースというわけではありません。


 本当に希なケースなら、どうもな〜さんの主張に正当性があるかも知れませんが、そんなことはないのです。

 具体的にどの程度の教師が誤った考えをしているのかは分かりませんが、私の感覚では1割以上、ことによると5割以上が順序を方便ではなく本気で信じています。指導書に、「順序が逆だと間違い」と明確に書いてあるので、不思議はありません。

 教えている人の多数が、「順序は方便に過ぎない」と分かっていなくて本気で信じていて、「正しい順序に書かせること」を目的に一生懸命教えているようでは、

 「順序に拘らせることでかけ算の理解が促される」などという理屈は破綻していると思います。

>上記のような話は教育者としてはなかなかいいづらい話なので、あまり反論がでないというだけだと思います。

 「順序が手段として有効だ」と主張している人の多くが、「順序が本当にある」と思い込んでいるから、反論が出ないと考えた方が合理的だと思います。
積分定数
2012/01/04 22:12
順序擁護派のコメントを読んでいると、今の小学校の算数は、60年前より酷くなっている気がする。
水道方式と文部省が悪い意味でミックスしてしまった感じ。
「1つあたり×幾つ分」の掛け算と「等分除と包含除」の割り算が悪い関係を結んでいるし。
これって、遠山啓が悪かったのだろうか?
おおくぼ
2012/01/04 22:26
そうなんですよね。

教育手段として掛算の順序にこだわっていると言っている人たちが本当に単なる手段に過ぎないと思っているかどうかはかなり疑問な場合が多いと思います。

だからこの議論では掛算順序擁護派にはまず最初に次の質問をした方が良いと思います。

Q1. 一般社会には「具体的な状況を掛算で表わすときにひとつあたり×いくつ分の順序に書かなければいけない」というルールはないですよね。

これに「はい、ありますよね」とか、「日本ではそのルールが常識です」のような答が返って来たら、その時点で「常識外れの困った人」であることを強調して構わないと思います。実際そうなのだから。

「いいえ、そのようなルールはありません」と言ってもらえたなら、次のターゲットは「小学校算数のあいだは基本的に掛算の順序は遵守されるべきである」と思っている人たちです。

一般常識に反するルールを利用しているという自覚があるならば、そのことに十分配慮した注意深い教え方が必要になるはずです。そこでまず最低限の配慮に関する次の質問をするのが良いと思う。

Q2. 一般社会で通用しないルールであることを小学校のあいだに子どもたちに責任を持って教えなければいけないですよね?

これに「いいえ」と答える教育関係者は無責任だと思います。この質問にも「はい、責任を持って教えるべきだと私も思います」と言ってもらえたならば、あとは以下のような質問をすれば良いと思う。

Q3. それでは具体的にどの時点でそのように教えてくれるのでしょうか?

Q4. 後で明確に一般常識に反することを教えるのに、掛算の順序を厳しく教え込むと混乱しませんか?
くろきげん
2012/01/04 22:37
 私は、小学校の現場でひどい教え方がなされているにもかかわらず、そのことを見ないで、「順序指導にも合理性がある」などと脳天気なことを行って、ひどい教え方を助長する、物理学者や数学者を批判してきた。

一方で私は、

>私の意見がモンスターペアレンツに利用されることについては、そうあって欲しくないと思っています。しかし、その可能性があるからと言って、おかしな指導法をおかしいと指摘することをやめるわけには行きません。

とも言っている。

 ダブルスタンダードだという批判もあるかも知れないが、具体的に私の主張を利用したモンスターペアレンツの事例を知らない。仮にそういう具体的事例が指摘されひどいと思えば「それはひどいと思う」と言うだろう。

 順序擁護論を展開する数学者・物理学者は、順序に異様に拘った具体的事例が多数報告されてまさにそれが問題になっているにもかかわらず、そのことを見ないで「適切な指導だと思う」「順序にも一理ある」などと脳天気なことを言っているのが無責任だということである。
積分定数
2012/01/04 22:40
この件についてあまり事情が分かっていない人が、「かけ算に順序なんて普通に考えたらおかしいと思うが、教師にもきっと考えがあってのことだと思う」と思うのは、極めて常識的。

 でもそこから、「だから、そこを理解しないで順序指導はおかしいなんて言うべきではない」となると、それは違う。

「そこを理解」しようとして色々調べたが、到底理解できなかった。

 「順序を批判する人もそれなりの考えがあってのことかも知れない」程度のことは思いついて欲しい。

 まあろくに考えないで、「教師はアホだ。諸悪の根元は日教組だ。」とわめく輩がいることは否定しないが。
積分定数
2012/01/04 22:52
>Q1. 一般社会には「具体的な状況を掛算で表わすときにひとつあたり×いくつ分の順序に書かなければいけない」というルールはないですよね。

教師の多く、(5割以上)は、この段階でアウトではないかと思う。「ルールはあるが守られていない」と思っている人が多そうな気がする。
積分定数
2012/01/04 22:55
>教師の多く、(5割以上)

教師の多く、(ひょっとしたら5割以上?)

です。見当もつかないけど。無作為抽出してアンケートしてみたい。
積分定数
2012/01/04 23:13
>「順序を批判する人もそれなりの考えがあっ
>てのことかも知れない」程度のことは思いつ
>いて欲しい。

そうです。
そこで先日私が言った「相手の無能で説明のつ
く時に、悪意があると思うべきでない」です。

彼等が掛け算の順序が正しいと思うのと同じよ
うに、我々が掛け算の順序はどうでも良いとす
るのが正しく・子ども達のためにもその方が良
いと思っている、ということを彼等は認めませ
ん。
我々のことを「…と思い込んでいる馬鹿者」と
みなすのはかまわないけれど、我々が子どもの
立場にたってないと言い続けるのは何故なのか?
それは、そう言い放つことが幸せだからだと私
は見ています。
ゴルゴ・サーディーン
2012/01/04 23:30
>我々のことを「…と思い込んでいる馬鹿者」と
みなすのはかまわないけれど、我々が子どもの
立場にたってないと言い続けるのは何故なのか?

 まあ、「かけ算の順序が絶対正しい」という前提からしたら、「順序に反対しているのは、子どものことを考えていないからだ」とした方が理解できると言うことなんでしょうかね。

 人間の思考の癖なんでしょうかね。自分から見て、望ましくない行動をしている人は、主観的にも悪意を持っていると考えた方が、説明が付くと思ってしまう。

 日本の戦争責任についても、左翼は「ろくでもない奴らがアジアで残虐行為を行った」、右翼は「彼らにも志があった。侵略ではない。」という。おそらくどちらも誤り。「真面目で志を持った人が、アジアで残虐行為を行った」のが最も近いであろう。

 主観的な善意を理由に行動を正当化してはならないし、行動がろくでもないことを理由に、主観的には善意であったということまで否定してはならない。

 人間は往々にして善意でもって、ろくでもないことをしてしまうこと事実をまず認めるべき。

 私も、かけ算の順序を一生懸命工夫して教える教師が、子どもに算数が嫌いになって欲しくて日夜努力している訳ではないと思っている。
積分定数
2012/01/05 01:12
 数教協なり水道方式なり遠山啓なりが、なぜ高く評価されるのか、過大評価ではないのか?という疑問が最近出てきた。

 終戦から間もない頃、左翼に勢いがあって、民間教育運動が盛んだった時代にうまく乗った面もあるのではないのだろうか?という気もしてきた。

 体制側・文部省の教育と対決するというと格好良いが、民間教育運動が手放しで褒め称えられるようなものとは限らないのは、「滝山コミューン」を読むと分かる。

 数教協がどのような道を歩んできたのか、当事者ではなく第三者が中立的な立場から研究したものはないのだろうか?

 研究対象として面白いと思うのだが・・・
積分定数
2012/01/05 01:23
もし遠山啓さんが「1つあたり×幾つ分=幾つ分×1あたり」と発言していたら、数教協の罪はもっと軽くなった気がします。
どうも「掛け算の正しい順序」は「割り算の包含除と等分除の区別」と密接に繋がっているみたいです。
分数同士の割り算ができない生徒が多い理由を、「1つあたり×幾つ分」というコンセプトを生徒が理解していないからだと推測しています。
ここまでは遠山啓さんの本にも書いてありますけど。
でも、その上で「1つあたり×幾つ分」という順番に重要な意味があるという信仰がミックスされてしまっているみたいです。

メタメタさんのブログから引用します。

http://ameblo.jp/metameta7/entry-11059600124.html

> 遠山と数教協が、かけ算の導入を、それまでの「被乗数×乗数」に替えて、「1あたり量×いくら分の量」にすることを提起した(70年代に提起し、80年代半ばから教科書に採り入れられるようになった)理由は、主に次の2つの理由からだった。(前発言で既述ですが)
>@「被乗数×乗数」では、乗数を、被乗数を累加する回数、つまり整数として教えることになり、将来、小数や分数のかけ算になったときに戸惑う。
>A「被乗数×乗数」では、乗数を倍数として教えるが、倍は関係概念であり、数を理解し始めた小学2年には難しすぎる。

http://ameblo.jp/metameta7/entry-11059600945.html

>混乱の原因は、「被乗数×乗数」と「1あたり量×いくら分の量」の折衷であり、このような折衷は、80年代以降の日本の算数教育の中だけの現象でしょう。
おおくぼ
2012/01/05 12:22
http://questionbox.jp.msn.com/qa3576022.html
>教師用指導書ってなんですか?いったい誰が書いているのですか?
昔からあるものなのでしょうか?
わかる方いらっしゃいましたらお願いします。

> さて、書いているのは誰か、ということですがほとんど現職の教員です。


これが事実だとすると、指導書に「順序」の記述があり、それを読んだ教員が「順序」の存在を信じ、指導書の著者となり「順序」を記述して、・・・

数学的帰納法により無限に続くことになる。
積分定数
2012/01/05 12:37
「かけ算の順序」ユーチューブに登場
http://www.youtube.com/watch?v=SQP97H2_pjw

「文科省に問い合わせた人がいるらしい」は多分私のこと。
「指導書」というべきところを「指導要領」と言っているが誤り。

主張は概ね同意できる。

だいたいスタンダードな反順序論だが、他であまり触れられていない論点がある。

コーラとオレンジジュースと同時に言うことは出来ないから、前後を付けざるを得ないが、云々問う部分

私も同様のことを書いてある。

http://suugaku.at.webry.info/201102/article_17.html
>異なる形に異なる意味を無理矢理当てはめたのが「かけ算の順序」である。
この「当てはめ」が重要であるなら、割り算に関しても、 30÷(等)6 30÷(包)6 という具合に区別しなくてはならないはずだが、所詮、深い動機はなく、「形が違っているから、意味の違いを反映させるといいかも知れない」程度のことだから、割り算に関しては両者が同じ表記になってしまっても気にならないのだろう。
かけ算に関しても例えば、3×4を、3と4を重ねて書くという具合に、3と4を入れ替えても形が変わらないような表記法であれば、「かけ算の順序」などというくだらないことは問題にもならなかっただろう。
積分定数
2012/01/05 13:21
http://9114.teacup.com/seisann/bbs?
西三数学サークル掲示板

回答がありました。
積分定数
2012/01/05 14:22
>もし遠山啓さんが「1つあたり×幾つ分=幾つ分×1あたり」と発言していたら、数教協の罪はもっと軽くなった気がします。

順序に関してはそうですね。ただ私は、累加でなく「1つあたり×幾つ分」とすることのデメリットがもっと指摘されても良いと思うのです。

 遠山啓は、累加だと0や分数のかけ算で困難になると言うことを指摘していますが、正直、それほど重大なものかな?という気がします。

 既に書いたように、「どれが1あたりか?」と探すようになってしまうことの弊害が指摘されているし、私もそれは小さくないと思います。

 式というのは自然に浮かんでくるべき性格のものであって、3時間で12q歩く。6時間では、12+12、あるいは、12が2つ分で、12×2or2×12、とするのが自然な発想です。このときに「1あたり」などという意識は全くないわけです。もちろん、1時間あたり4qとだしても良いのですが。

 遠山啓は、速さの概念は子供は既に持っている。徒歩より電車の方が速いとか分かっている。速さは、距離を時間で割ったものという定義は、子どもにとってはよそよそしい、というようなことを指摘しています。私もそうだと思います。

 ただそれで言ったら、「1あたり」というのもよそよそしいと思うのです。

 既にかけ算を理解している大人だから、「1つあたり×幾つ分」というのを「なるほど」と思うだけかもしれません。

 累加として導入しても、おはじきを格子状に並べるとか試行錯誤するうちにかけ算のイメージは獲得できると思うし、余計な恣意的人為的概念を外から与えない方が良いと思うのです。

 そのあたり、最近すごく考えるようになりました。
積分定数
2012/01/05 14:47
算数・数学それ自体は非常にシンプルで美しいのに、遠山啓はあれやこれや余計なことをしているように思えます。個々人があれこれ考えるのは良いとしても、教える人が無批判に信奉してしまうと害が多そう。

 そういう意味では、何の思想もないTOSSの手法の方がすがすがしい(皮肉です)とも言える。
積分定数
2012/01/05 14:52
公文式は水道方式と真逆な気がします。

http://www.kumon.ne.jp/jitsuryoku/kyozai/sugaku/

理屈はなるべく少なくして、どんどん高度な計算に進みます。
理屈を教えすぎると、教えた理屈以外のことが考えられなくという弊害があります。
ヒントはいいけど、「式の意味」みたいに過剰になると碌なことがない場合が多いですね。
おおくぼ
2012/01/05 18:37
ちょこっとmixiを覗いてみたんですが、「こどもの教育」コミュの関係トピが悲惨な状態になってますね。困った人はできるだけ早めに対処しないとダメ。早ければ早い方が良いというのが基本原則。教育関係のコミュだと「除名処分」ってのはやりにくいのかな?結果的にそれは損な選択肢だと思うんですが。

ぼくが読んだ範囲内では遠山啓氏自身はそんなに変なことは述べていないと思います。普通の理系の人なら誰でも言いそうなことを中心に述べているという印象があります。遠山氏が書いたものを読むと昔はこんな常識的な考え方でさえ普及していなかったのかと思う。

でも、数学とは別の算数に関する「理論」を作ってしまったのは結果的に失敗だったと思います。遠山啓氏や矢野健太郎氏は『数学セミナー』(以下、数セミ)誌の創刊に寄与したことでも有名です。数セミの読者であればで微笑みながらもしくはゲラゲラ笑いながら読むことができる内容であっても、数学とは独立の算数に関する「理論」が本当にあるかのように誤解してしまうレベルの人たちが読むと有害な教え方に繋がってしまうことがある。

数セミ2012年1月号に書評を書きました。興味がある人は本屋で覗いてみて下さい。
くろきげん
2012/01/05 20:00
ぼくは「意味」という言葉を使うから誤解を招いているのではないかと疑っています。

「式の解釈」という言葉を流行させて、「同じ式であっても異なる解釈を許すし、異なる式であっても同じ解釈を許すという事実をおさえる」のような教え方をしてもらいたい。

ちなみに大学では「同じ記号で違うものを表わすこともあるし、違う記号で同じものを表わすこともある」と教えています。これ知らないと本当に困る。文脈を理解して適切な解釈ができないと式を正しく解釈すること自体が不可能になるのだ。文脈を理解するところに数学や科学に関する様々な教養が必要になる。純粋に数学の範囲内であっても文脈を理解することが式の解釈のために必要になる場合が結構あります。

たとえば、「正方行列 A に対して特性多項式 p(x) を p(x) = det(xE-A) で定めると、p(A)=0 が成立する」というCayley-Hamiltonの定理を理解するためには、「p(A)=0」の右辺の「0」が零行列であることを認識しなければいけません。同じ「0」でも様々な0があることを理解していないと、「p(A)=det(AE-A)=det(0)=0」のような(有名な)間違った証明をしてしまうかもしれない。
くろきげん
2012/01/05 20:12
速さは「内包量」=「1あたりの量」であり、決して「いくつ分の量」にはならない、のように考える頭の硬い人が増えるのは確かに困りものですよね。さらに速さは「内包量」だから足算できないというのも誤り。

たとえば移動に使える時間が5時間と決まっているときには、速さを時速1キロメートル増やすごとに移動できる距離は5キロメートルずつ増える。5時間=5キロメートル/時速1キロメートル。(積分定数さんも同じことを強調している。)

現実に数学を応用するときには「どの変数を動かしてその結果どの変数がどう動くかを見るか」に関する状況は様々なので、何を1あたりの量とみなすかも当然状況に合わせて変わることになります。これが理系の常識。いや、理系に限らず、数学を使っている人であれば誰にとっても常識ですよね。

いずれにせよ、算数や数学を学んだせいで頭が硬くなるのは困りもの。
くろきげん
2012/01/05 20:24
かけ算の順序をはなれた、ちょっとメタな議論になりますが、くろきさんの

「式の解釈」という言葉を流行させて、「同じ式であっても異なる解釈を許すし、異なる式であっても同じ解釈を許すという事実をおさえる」のような教え方をしてもらいたい。

というのにはすごく賛同するのですが、実際はかなり抵抗あるだろうなぁという気がします。きちんと統計とかあるわけではないですが、複数の異なる解答を正解とする事に対して学年が低くなるほど教師の拒否反応が強いという印象を個人的(実体験をもとにはしていますが)には持っています。漢字の書き順、止めはねの区別しかり、かけ算の順序しかりです。子供が混乱するというのを理由にしていますが、「これとそれは違うけれど、じつはどっちも正解」とした上で子供たちをコントロール(悪い意味ではありません)できる自信がないだけなのではと勘繰ってしまいます。

 正解は一つだけというのを(暗黙のうちに)常識にしてしまう教育方法が悪いのか、はたまた10歳前の子供は正解が一つ以上あると落ち着かないのか、本当のところはよく分りませんが、少なくとも教師のかなりは無意識に「正解は1つ」を前提にして教え方を考えているような気がします。そのいみでも積分定数さんが色々例をあげているように根が深いのかもしれません。

げお
2012/01/06 00:52
低学年から無理して「高級」な常識を教える必要はないと思います。

でも、同じ6x8でも異なる解釈がたくさんあるし、6x8と8x6のように異なる式であっても同じ解釈が可能であるというレベルの常識程度のことであれば小学校を卒業するまでに教えた方が良いと思います。

低学年でどのように教えようと、最終的には柔軟に式を解釈するという常識を教えることになっていれば、そのことに注意を払わざる得ず、掛算の順序に関する特殊ルールを徹底的に教え込むという無茶はできなくなると思います。
くろきげん
2012/01/06 01:27
ツイッターの方では「教え方の詳細」に関わる議論を始めると大変なことになることを強調しています。

ぼくは「教え方の詳細」によらない robust (頑健)な議論をするべきだと思っています。

というわけで、繰り返しになりますが、低学年でも〇〇しろのような意見を述べているつもりはありません。
くろきげん
2012/01/06 01:37
>子供が混乱するというのを理由にしています
>が、「これとそれは違うけれど、じつはどっ
>ちも正解」とした上で子供たちをコントロー
>ルできる自信がないだけなのでは

それについては私も、強く、そう思います。
「掛ける」の記号にまで書き順が定められて
いるのは、漢字の一画の止め跳ねまでチェッ
クしていることの反動として
「算数の記号の書き順も決めてくれ」
という声が児童や親から出て来て、それを脚
色して
「決めないと子どもが混乱する」
と言っているに違いない、と私は見ます。
ゴルゴ・サーディーン
2012/01/06 01:48
「どっちでもいい」というと混乱する子がいるのは事実のようです。

http://www.pluto.dti.ne.jp/~rudolf/sansu-utsushinasai.html
>「どっちでもいい」私のこの無責任な言葉で、多くの子に不安と混乱を与え、先述のひどいテスト結果を生んでしまった。

http://www.pluto.dti.ne.jp/~rudolf/sansu-utsushinasai2.html
>教えた以外の書き方を認めず、「先生が書いた通りに」と限定した。練習問題でも「この通りに写しなさい。」と言い、 写す対象を明確にした。

何度か言及したTOSSの「さくらんぼ計算」。「この通りに書け」なんて、私なんかは嫌悪感を覚える教え方だけど、この教師自身は「本来はどっちでもいい」と分かっているようだし、実際「どっちでもいい」として混乱した子がいたので、「この通りにやれ」としたら、出きるようになった子が増えた

ということであり、私はこういう教え方には反対だが、こういう教え方をする側の意図も理解は出来る。

 かけ算の順序は、そもそも教える側が「順序」を方便でなく本当のこととして信じているというのが論外だし、「どっちでもいいとすると混乱する」というのも、本当なのか疑問に思える。


積分定数
2012/01/06 07:20
蛸2匹の脚の数で、「順序はどちらでもいい」と教わったがためにどちらを書くべきか悩んで書けない、と言う子がいるのだろうか?むしろ「順序」を叩き込まれて、「どちらが正しいのか?」と悩むのではないだろうか?
問題が複雑になってきたら厄介である。A,B,C,Dの並べ替え問題なんて、4×3×2×1にしたらバツになるのだろうか?めんどくせー。

2つの飼い葉桶のどちらの餌を食べようかと悩んでロバが飢え死にすることを心配した人が、どちらか一方が選択できるようにと「飼い葉桶の底についた泥の量が多い方を選びなさい」と教え込んだ。

 ロバは忠実にそれを守った。

ロバのすぐそばに飼い葉桶があった。遠く離れたところにも飼い葉桶があった。ロバはすぐ近くで餌を食べたかったがグッと我慢して底の泥の量を確認し、遠く離れた飼い葉桶のところにまで行き、泥の量を見て、「あれ?もう一つの方と比べてどうだったかな?」とまた戻って、・・・などと繰り返して、結局餌を食べることが出来ませんでしたとさ。
積分定数
2012/01/06 07:50
数セミは以前は購読していて「エレガントな解答」を説いたりしていたが、最近は久しく読んでいない。黒木さんの文章は、立ち読みしました。日本評論社さん、すみません。

>数セミの読者であればで微笑みながらもしくはゲラゲラ笑いながら読むことができる内容であっても、数学とは独立の算数に関する「理論」が本当にあるかのように誤解してしまうレベルの人たちが読むと有害な教え方に繋がってしまうことがある


森毅の文章は、そういうのが多いと思います。以前書いた、「分数の足し算で分母同士・分子同士を足してしまうというのも、あながち間違いとも言えない」という類の話は、分数の計算を理解している人は「面白いな」と言うレベルのことだけど、分数の計算を獲得しつつある子にそんなこと言ったらまずいと思う。
積分定数
2012/01/06 08:21


遠山啓の文章にも同様のことを感じる。以下「数学の学び方・教え方」(岩波新書)から

▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽
たとえば男の子が5人いる。女の子が3人いる。男の子は女の子より何人多いだろうかという問題に対して、ある子が5−3=2という答えを出しました。そうすると別の子が、「男の子から女の子は引けません」という疑問が出ました。
 その子の疑問は当然です。引いた残りを求めること、すなわち求残しか教えていない段階でこういう問題を出すと当然そういう疑問がでてきます。
(中略)
 こうしたことがはっきりしないと、子どもの疑問を解消することができません。これまでの算数教育ではこういうことが混同されていたのです。
 数の世界だけで考えていると同じ引き算ですが、具体的場面になると細かい相違があるのです。こういう疑問を持った子をそのまま放っておくと、その子はだんだん算数がわからなくなります。結局、求残をやってから求差をやるべきであるということです。
△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△
積分定数
2012/01/06 08:22
 初めてこの部分を読んだときは目から鱗で、「そうか、自分には『同じ問題』に見えても、子どもには『違う問題』と見える場合があるのか」と思いました。

 しかしこの間の「順序」論争を踏まえてこれを読むと結構危なっかしい。遠山啓自身はわかった上でいっているのだろうし、事実(中略)部分には、男の子を女の子が手を繋ぐことで、求差の問題を求残に帰着させる説明がある。

 しかし読む人によっては、「引き算には求残と求差という全く異なった意味がある」と思い込む人もいるかもしれない。

 瀬戸智子さんが典型。瀬戸さんはさらに、全ての子どもは、「男の子から女の子は引けない」という疑問を持つことを前提にしているようにも思える。

>たし算の意味は小学校では「合併、添加、増加」の3つです。
>引き算はたし算の逆思考で、合併には求補。添加には求残。増加には求差と対応しますが

>はい。小学生にとっては、キチンと区別して教えていく必要の有る概念です。大人にとって何気ないことでも小学1年生にとっては、たし算の魔法なんですよね。
どういう言葉で書かれてくる問題がたし算に、またあるときは引き算になるか、、、を、しっかりと見ていくためには国語の力によるのですが、、、「合併、添加、増加」は子どもにとって明らかに違う文法なのです。
積分定数
2012/01/06 08:37
遠山啓の文章にも「ある子が5−3=2という答えを出しました。」とある。求差であっても、求残と区別しないで同じことだと正しく認識して正しく答えられる子はいる。

こういうこというと「それは出きる子の視点であって・・・」といわれそうだが、

「引き算は引き算であって、求残だの求差だのという区別はそもそもない」という部分は揺るがない大前提としないと、「同じ引き算」と正しく認識している子に余計なことを言って混乱させいかねない。

 「男の子から女の子は引けません」という疑問を持つ子に、求差も求残と同じことになるんだと教えるべきということであって、決して逆ではない。
積分定数
2012/01/06 08:46
とはいえ、引き算は求残だろうが求差だろうが「−」をいう記号を使うのが慣例であって、さほども問題にはならないのだろうが、表記が2つ可能な足し算とかけ算ではこの問題が表面化する。

割り算の等分除と包含除は、順序派の理屈からしたら区別すべきなのに表記は「÷」だからさして問題にならない。

ところが、「ニコニコ割り算・ドキドキ割り算」などと名付けて区別させる教え方もあるようである。
積分定数
2012/01/06 08:54
黒木さんの提案に逆らって敢えて教育内容に踏み込んで私の考えを述べる。

>引いた残りを求めること、すなわち求残しか教えていない段階でこういう問題を出すと当然そういう疑問がでてきます

というのは、「引き算」というのが最初にあって、それを獲得するために文章題があるというのが前提になってしまったいるから生じると思われる。

 「男の子から女の子は引けません」と言った子も、事実として5人は3人よりも2人多いと言うことはわかっているのだと思う。しかし、5−3は5個のものから3個取り去った残りを表すと思い込んでいるので、この問題の式としてはふさわしくないと思っているのだろう。

 「こういう疑問が出てくるのが当然」ではなくて、「こういう疑問を抱かせないような指導」が望ましいと思う。

 計算とか式とか教える前に、簡単な文章題、指を折ったりおはじき使ったり、○を描いたりして簡単に出せる数の文章題をやる。

 それを繰り返すうちに、5人いて3人帰った残りを求めることと、5人は3人よりどれだけ多いかを求めることが、同じ操作になることに気づく。
積分定数
2012/01/06 09:16
○○○○   ○○○

例えばおはじきをこう置いて、両方から1個ずつ取り去るというのを3回行えば

○○

となる。これはつまり、5個から3個取り去った数ということ。「男の子と女の子が手を繋ぐ」という説明をしなくても、おはじきなどの操作を通じて子どもが自然に気づくのが望ましい。

等分除と包含除もそうで、20個のおはじきを4人に分ける場合、1人何個になるかわからなければカード配りをするわけで、20から4を何度も引く累減と同じことになる。

 こういう具合に式を介在しないで素朴な方法で求めることを何度もやって感覚・イメージを掴んだ後に、式を教える。

 その段階では、求差と求残だの包含除・等分除などという区別は子どもの中にはなくなっている。

 というのを夢想しているが、実際に小学校低学年に教えた経験はないのでわからない。

 中高生に教えた経験から思いついたことである。

 高校生に教えていて思うのは、「この問題はこうやって解く」ときっちり覚えている優等生タイプの子は中学までは何とか持ちこたえられても高校数学でほぼ間違いなく躓く。

 小学校低学年で言ったら、「どちらがどれだけ多いかという問題は引き算で求める」と覚えることに相当する。

 おはじきなどで感覚を掴めば、「どちらがどれだけ多いか」も「取り去った残りは何個か?」も当たり前のように「同じ引き算」と認識できると思う。
積分定数
2012/01/06 09:18
遠山啓が心配した「累加だと分数のかけ算で躓く」というのも、分数のかけ算を前提にしているから。

1mで6sのロープ、1/2mの質量は?

これは分数のかけ算、割り算を知らなくても解ける。

こういうのを“既知の”概念を何とか使って試行錯誤して出来るように繰り返す。

1mでAsのロープ、Bmの質量は?

が、A、Bが分数でも解けるようになった状態で、「ところでBが自然数ならA×Bで求められるよね。だったらいっそのこと、Bが分数でもA×Bと書いちゃおうか、」とでもテキトーなこと言って、なし崩し的に、既知の概念からの自然な延長として分数のかけ算を導入すればいいと思う。

 重要なのは分数のかけ算の定義を知らなくても、1mで6sのロープの2/3mの質量を求められるということ。

階乗だのCだのPだの知らなくても、A,B,C,Dの並べ替えや、2個取り出す選択肢が何通りかがわかるようなもの。

これも高校生に教えていて思うが、CやらPやらなまじ知っていると、「どれを使うのかな?」などと考えて、問題文に「組み合わせ」といあるからCを使おうとして間違えたりする。

CもPも階乗も知らない子は素直に考えて正解を出す。虱潰しに書き出す子もいる。そうすると、その方法ではとても解けない意地悪な問題を出す。すると、樹形図を描いたりして、・・・という具合。

 そういうのをさんざんやった上で、便利な記号としてCやPや!を導入する。

 かけ算を累加で導入する利点は、「わからなくなったらいつでもなじみ深い足し算に戻ればいい」という安心感があること。

「累加ではない。全く新しい計算だ」などと脅されたら、困ってしまうかも知れない。
積分定数
2012/01/06 10:11
公文に関しては、http://cccpcamera.asablo.jp/blog/2009/05/17/4309467にかいてあるように、x^nの微分はnx^(n-1)とやると教えて、ひたすら計算させるとしたら、甚だ疑問な指導法だと思う。

 それよりは、f(x+h)−f(x)/h から求めることをした方が良い。何度もやれば、x^nの微分がnx^(n-1)となることは気づいてくるし、一般的に成り立つのか考えて、2項定理使うとか、nが有理数にまで拡張できるかとか考えればいいし、それこそが数学の面白さ。

 そこをすっ飛ばして、x^nの微分はnx^(n-1)だと叩き込んで何度も演習問題をやると

(e^x)’=xe^(x-1)としてしまうのは目に見えている。

生徒に微分を教えるときは、「学校でやったことは一切忘れるように」と言う。

で、lim(h→0){(x+h)^3−x^3}/hを変形して、 lim(h→0)[3x^2+3x・h+h^2]まできて、もうすぐ出来るなと思っていたら、

6x+3x+2h

などとやりだしてがっかり。

「なんでそうなるの?」「だって微分だから。微分は、ここの小さいところを前に持ってきて・・・・」
積分定数
2012/01/06 12:22
学校では余計なことを教えないで欲しい。x^nの微分はnx^(n-1)ということを知らなくても、微分の意味さえ分かっていれば微分は出来る。

 そこから自分で手探りして、x^nの微分はnx^(n-1)というのを見つけ出したのなら、間違えることも少ないが、結果だけを覚えるからわからなくなる。

 自分で定理や法則を見つけるようにさせるのは出きる子だけに有効で出来ない子にはそうはいかない、

という反論があるだろうが、出来ない子が何故出来ないのかを見ると、あれやこれやを覚え込もうとして混乱しているように思える。

 方程式の係数が分数や小数なら何倍かして整数に直してから解かなくてはならないと信じ込んでいた子は

ax+b=c を解くことが出来なかった。

 やり方など指定しないで好きにやって良いとしておけば、「小数の場合は10倍すれば楽だな」と自分で気づく子もいるだろう。そうすれば、「こうすれば楽だ」というだけのことでそれが絶対的なルールでないことも理解できるだろう。

 学校も含めて、余計なことを教えすぎだと思う。
積分定数
2012/01/06 12:23
 公文に対して、水道方式は意味過剰・イメージ過剰に陥っているのかも知れない。「こういうイメージで捉えなくてはならない」というのが桎梏になっていないだろうか?

 イメージや意味をあれこれ列挙した結果が内包量だの外延量だの何とか割り算だの・・・

 イメージというのは結局各自が自分自身で見つけないとならないような気がする。それを外部注入してもうまくいかないと思う。

 このあたりは、心理学とかの領域になるのかも知れないが、私自身は教えることは最小限にして、なるべく生徒自身が試行錯誤して考えることを重視している。

 数学って、歴史の年号や英単語のように、教わったから知っている、本で読んで知っている、というのとは違って自分自身で見つけることが出来るわけで、そこが面白いところ。

 「交換法則を教えるまでは使ってはいけない」などという人は、「教わる前に交換法則に気づくはずがない」と固く信じているのだろうか?

「習ってない漢字は使わないように」という指導はくだらないと思うが、それ以上のくだらなさ。「習ってない漢字を使うこと」を積極的に奨励すべきかどうかはわからないが、「習ってなくても、自分自身で法則や定理を見つけ出す」ということは、算数・数学では大いに奨励されなくてはならない。少なくとも「そういうことはしてはいけない」などとは決して言ってはならない。
積分定数
2012/01/06 12:33
自分で法則を見つける活動をやるには算数が最も適しているとも考えられますね。

ほとんどの場合、紙と鉛筆だけで正否を確かめられる。道具が必要な場合でも、せいぜい、おはじき、定規、コンパスくらいですから。

鰹節猫吉
2012/01/06 12:46
>「式の解釈」という言葉を流行させて、「同じ式であっても異なる解釈を許すし、異なる式であっても同じ解釈を許すという事実をおさえる」のような教え方をしてもらいたい。

それに尽きる気がします。
数学の発展の歴史は、そうだったと思うし。
森毅さんや銀林浩さんは数学史に詳しいはずだったんだけど・・・。
数教協も数学史が好きな人が多いような気がするんだけど。
おおくぼ
2012/01/06 12:50
理科だと誤差だとかいろいろあるけど、算数なら紙と鉛筆で出来るしね。

3を4個足すのと4を3個足すので結果が同じになるなんて、自分で見つけたらすごく面白いと思うんじゃないかな?他の数でもそうかな?なんてやってみて、どうもなりそうだとなると、「おお」と思ったりして。

 水道方式のタイルは、子どもが簡単に描くことができないからそのあたりも受け身になりかねないような気もする。
積分定数
2012/01/06 12:52
黒木さんが言っているように、「意味」でなくて「(1つの)解釈」とすべきですよね。定冠詞theじゃなくて、不定冠詞aがついた解釈。

n個からm個取り出して並べる方法が何通りあるのかが、nPmの意味

と堅く信じ込んでしまうと

x^nのm階微分の係数はnPm、などというのが理解できなくなったするかも。何の順列だろうか?なんて考えちゃったりして。

 「1あたり量」がそうなってしまっている可能性がある。それに気づくきっかけは「こどもの教育」コミュでのやりとりだったのだけど、ある方が入って・・・
積分定数
2012/01/06 13:00
私は公文式については体験したことがないので、ネットや本の情報しか知りません。
でも文章題に関する考えは「なるほど」と思いました。

http://www.kumon.ne.jp/qa/sugaku/sugaku03.html

>計算力を身につけるには多くの練習が不可欠ですから、計算力の不足は一朝一夕で挽回できるものではありません。
>高い計算力が十分につく前に、文章題や図形の学習をと焦る必要はないと、公文式では考えます。
>先の段階の高度な計算までできるようにしておいた方が、中学校以降での学習がらくになるのです。
>また、文章題や図形問題ができるようになるには計算力以外に、問題文から内容を読み取り、イメージ化する国語力が必要になります。
>そこで、子どもたちに先に十分な計算力と国語力を身につけさせることが、文章題や図形を得意にする近道になるだけでなく、ほかの教科にも非常に良い影響を与えることになるでしょう。
おおくぼ
2012/01/06 17:16
文章題に関してはともかく、計算に関してイメージを捉えることが重要だと思います。

3÷0.5 を見たときに、3mのリボンを0.5mずつ分けるとしたら、1mで2本になるから、6本、というイメージ。

 あるいは、九九を覚えていない状態(これが重要)で九九を累加で求めざるを得ないなかで、

8×12を8×10と8×2に分割して、それぞれ求めて足すだとか、2×9を2を律儀に9個足すのは面倒だが何とか楽な方法を見つけてサボろうとして、格子状にならべて9×2と同じと気づき、9+9=18とするとか。

 そういう風にして簡単な数から徐々に大きな数について工夫しながら計算すれば、分配法則などは当たり前のこととして使いこなせる。

 そういうイメージとリンクさせることで数に対する感覚が磨かれると思うのですが、大量の計算問題をやるとなると、ひたすらマニュアルに従って処理していくことになるように思います。

 まあ実際のところはどうなのかわからなくて単なる想像ですが。

 水道方式は逆に、特定のイメージを植え付ける面があるように思います。
積分定数
2012/01/06 18:15
東北大学発の順序です。

http://www.sed.tohoku.ac.jp/~edunet/annual_report/2011/11-06_miyata.pdf
釈迦に説法
2012/01/06 18:33
>東北大学発の順序です。

花まる先生と同じですね。
おおくぼ
2012/01/06 20:27
認知心理学の研究者が、遠山啓さんの影響を受けているみたいですね。

例えば

http://www.tsu.ac.jp/bulletin/bulletin/pdf/14/P001-011.pdf
おおくぼ
2012/01/06 20:46
文章題からの立式の研究

http://www.sci.hyogo-u.ac.jp/maths/master/h19/2007fukunaga.pdf

おおくぼ
2012/01/06 21:00
ツイッターでも紹介しておきました。以下はその転載。

新資料。東北大学教育ネットワークセンター年報 http://bit.ly/yPlpzO 第11号(2011)より、宮田佳緒里・蛯名正司・工藤与志文「かけ算の意味理解を促すための問題状況の図示の試み」 http://bit.ly/w9AtfR ←「5本耳のウサギ」が登場

http://bit.ly/w9AtfR では「2×5だと耳が5本のウサギが2匹いることになる」と児童に言わせる教え方については、藤野敬子(1985)「2×5か5×2か?(かけ算の導入)」麻柄啓一『にしちば通信』No.3,2-4が引用されている。この藤野さんはどういう人なんですかね?

http://bit.ly/w9AtfR では「一あたり量×いくつ分」の順序で書くという指導の仕方については、例として遠山啓(1978)「量とは何か1 内包量・外延量」太郎次郎社が引用されている。遠山啓の「量の理論」ってこういう位置付けになってしまっているわけね。
くろきげん
2012/01/06 21:22
>釈迦に説法さん

情報提供有り難うございます。

ざっと読んだけど、この人たちは一生懸命何を教えているのだろうか???

かけ算の順序を指定することで、かけ算の理解が促されているのだろうか?

「かけ算の順序を正しく書けること」=「かけ算を理解したこと」とみなして、

一生懸命、「正しい順序に書かせること」を目的にしているように思える。

「1あたり量×いくつ分」という順序もさることながら、「1あたり量」「いくつ分」という言葉自体がわかりにくいのかも知れない。

4人に3個ずつ蜜柑を配る。蜜柑はいくつ?

「いくつ分」は問題文の「いくつ」じゃなくて、4人の方なわけで、わかりにくいと思う。

 足し算で式を書くように指示して、3+3+3+3と書けるなら、理解していると思われる。

もちろんトランプ配りで4+4+4でもいいし、1個ずつトランプ配りで、
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1でもいい。

一旦足し算で3+3+3+3と書いた後にかけ算に直す場合、3×4でも4×3でもどっちでもいいとすればいいと思う。実際どっちでもいいわけだし。

 そうやっちゃいけない事情があるのだろうか?
積分定数
2012/01/06 21:58
 ざっと読んだ印象では、順序を指定したらかけ算の理解がスムーズに進んだ、というようにはなっていないように思えるが・・・
積分定数
2012/01/06 22:00
>ざっと読んだ印象では、順序を指定したらかけ算の理解がスムーズに進んだ、というようにはなっていないように思えるが・・・

たしかに、「順序の指定」と関係ない気がします。
絵で問題を出すと正解して、文章題だと解けない。
おおくぼ
2012/01/06 22:12
> 文章題に関してはともかく、計算に関してイメージを捉えることが重要だと思います。
> 3÷0.5 を見たときに、3mのリボンを0.5mずつ分けるとしたら、1mで2本になるから、6本、というイメージ。

 それこそ、まさに 「解釈」 と言えますね。

 そういうイメージで捉えた子どもが比例を勉強したら、

「 0.5 : 3 = 1 : ? の ? を探せばいいから 3×2 でも求められるな。」

 つまり、

|−−|−−|−−|
|−|

を2倍にひきのばして

|−−|−−|−−|−−|−−|−−|
|−−|

↑ 6倍になっておる。

とか考えだろうし、分数と結びつけて考えれば、

「内項の積=外項の積、 約分、 通分、 みんな同じことじゃないか。」

とか考えるようになる。

 別々のことだと思っていたものが実はひとつながりになっていることが分かるようになる。

 要するに、各単元ごとに解法を覚えるという勉強のしかたではく、各単元ごとのつながりを体系的に理解して、算数のしくみ自体を学ぶようになる。
鰹節猫吉
2012/01/06 22:41
釈迦に説法 氏 提供の資料は面白いものが多いようですね。

「絵を見せれば解けるらしい」ということであれば、文章題を読んでもイメージが浮かばないから苦手なのかもしれないと考えて、そっちの方向からY君の苦手分野を探っていこうとかするのが普通だと思いますが、なんで順序うんぬんになってしまうのだろう。

 S氏が出てきたら、

 子どもの体験でなく、根拠のない思い込みにもとづいた「議論」は…

とか言うのかな?
鰹節猫吉
2012/01/06 22:52
結局、Y君の行動パターンは、

@ スタッフが絵を描いて見せると、問題を解ける。
A 自分で絵を描くのは嫌がる。

イメージが浮かばないから絵を描くのを嫌がるのか、絵を描くこと自体が苦手なのか???

子どもの思考回路は分からないところがありますね。

何を考えているのか分からない相手に集団一斉授業をするとなると、先生の側もどうしていいのか分からずマニュアルに頼ってしまうこともあるのか…

是非とも、学校の先生に参加してもらって、現場の意見を発信してもらいたいところですね。
鰹節猫吉
2012/01/06 23:16
>みんな同じことじゃないか。

これが数学を教えるようになって驚いたのだが、

三平方の定理、座標上の2点間の距離、円の方程式、サインの2乗+コサインの2乗=1、これらを全く別個の公式として暗記している高校生がほとんど。

最初にそれに気づいたときは、「みんなそんな面倒な事しているんだ?!」とカルチャーショックを受けた。

センター試験でありがちな、係数に文字が入った2次式が与えられて、問1:頂点の座標を求める 問2:x軸と異なる2点で交わる条件を求める というような問題で、問1を解いた上で、問2で判別式を使って求める、なんて日常茶飯事。

「解の個数・x軸との交点と来たら判別式」と徹底訓練されている。

 判別式も解の公式も、頂点の座標も平方完成も同じ事なんだけど。頂点の座標を求めあるのだからそれを使えばいいだけ。

 結局、個別に分断された解法・公式を暗記するとなってしまっている。

かけ算導入が累加の方が優れていると思う点は、足し算とつながっているから。「累加ではない。全く新しい計算だ」としてしまうと、つながりが切れてしまう。

 「高校までの数学はやり方を覚えて解くだけだが、大学での数学はそうではない」などという人がいるが、高校までの数学だろうが小学校の算数だろうが「やり方を覚えて解くだけ」などというのは邪道。自分がそうやって勉強してきたからといって「小学校算数は基礎を叩き込む時期。自由な発想などというの中学以降でやれ」などと言うのはやめて欲しい。
積分定数
2012/01/07 11:53
ではなぜ分断されてしまうのか?それは解法・定理・公式を教えるから。

(2,5)と(8,10)の距離を求めよ

2点間の距離の公式を知らなければ、座標に点を打って三角形をつくって、三平方で・・・とやらざるを得ない。一般的な座標の場合にもすぐに出来て敢えて公式を覚えなくても、自然にわかる。
積分定数
2012/01/07 12:00
当然積分定数さんも目にした事があると思うのです
が、順序派の人々もまた、数学を
 「公式を暗記して計算をするだけの物にすべきで
  ない」
という問題意識を持っている場合が多々あります。
人間の思考力・理解力とはいったい何だろう、と考
えこんでしまいます。
ゴルゴ・サーディーン
2012/01/07 12:06
2次式の頂点を求める公式を知らない子に、
y=ax^2+bx+c の頂点を求めさせるとどうなるか?

なかなか、こちらの思惑通りに平方完成にしてはくれないw

ある子は頂点のx座標をこうやって求めた。

ax^2+bx+c=c
ax^2+bx=0
x(ax+b)=0
x=0,-b/a
だから、頂点のx座標は−b/2a

何してるかわかりますか?

つまりこの子は、軸を中心に左右対称になっていることに気づき、y軸との交点と同じ高さになっているもう一つの点(のx座標)を求めた。その半分がちょうど軸になっている。

教えないでやらせると、こういう面白い方法が飛び出してきて楽しいのだが、本人は受けを狙ってことさらに奇をてらった方法を考えているわけではない。
積分定数
2012/01/07 12:13
>順序派の人々もまた、数学を「公式を暗記して計算をするだけの物にすべきでない」

私も最初それを見て驚きました。ブッシュが「世界平和を望んでいます」と言っているようなもので・・

「みはじ」「はじき」の是非の論争はまだましとも言えます。「みはじを使わないと解けない子がいるのだから仕方ない。批判派の言う理解が大切というのは理想論だ」というのは、「みはじ」なしに済まされるならそれに越したことがないというのを自覚しているだけましです。

 3時間で120q、6時間では?

を、2倍にして求めてはいけないという教師もいるらしいので、「みはじで求めるのが本来の正しい求め方。2倍だからなどとやるのは邪道。算数は答えさえ出せばいいのではありません。そこに至る過程が大切です」とでも思っているのかも知れませんが。
積分定数
2012/01/07 12:24
放物線が対称になっていることに気づいた生徒には、あえて平方完成を教えるのを後回しにすることも考えられますね。

本当に対称? とか問いかけてみれば x = -b/2a ± h のときの y の値を調べようとか考えるかもしれません。2次方程式の解の公式を見つけるかもしれません。 (-b±√D)/2a の形でかけ算して c/a になればいいから… それで自分で展開の公式の使い道を見つけて、、

これでもう解の公式を暗記しようと頑張ることもない。

鰹節猫吉
2012/01/07 12:44
 対称になるのは、グラフ用紙に書く中で経験的に気づいたようですが、軸の場所を突き止めた後なら、本当かどうかの確認は出来ますね。

 そうすれば、解の公式へもつながる。

 結局、用語だとか余計なこと教え込むからつながりが切れちゃうんですよね。

 「かける数」「かけられる数」なんて、いらねーよ!

数学はあれこれ手を加えなくてもそれだけで美しい。

秋刀魚は目黒に限る
積分定数
2012/01/07 13:33
高校の公開授業で順列組み合わせをやっていたけど、「問題見た瞬間にCを使うのかPを使うのかわからないと駄目だ」と教師が説明していた。それは駄目だろう。

ABCDから2つ選び、
1、2,3,4,5,6,7,から3つ選び、
それらを並べる並べ方。

4C2×7C3×5!

と瞬間的にわかるが、それは瞬間的にわかるように一生懸命努力したからではない。

樹形図書いたりして求めるうちにイメージが作られ、農の中にバイパスが作られ、結果的に瞬時にわかるようになったと言うことであって、

最初からそうしようとしたら、「あれ?Cだっけ?Pだっけ?」などとなりかねない。

鰹節猫吉さんがの「これでもう解の公式を暗記しようと頑張ることもない。」というものそういうことだと思う。

 「軸ここだからこうなって、・・・」とその都度やっているうちに頭の中にバイパスが出来て、途中がどんどん省略できて、結果的に解の公式がスラスラ出てくる。

 ことさら暗記する必要はない。

 生徒にもしょっちゅう「公式は覚えるな」と言っている。

覚えるから忘れる。最初から覚えなければ忘れる心配はない。

積分定数
2012/01/07 13:42
百ます計算で有名な陰山英男さんの本を読んでいたら、サンドウィッチ理論が書いてあった。
前に読んだ時は気付かなかった。
おおくぼ
2012/01/07 20:36
陰山英男が「みはじ」を使っているというのは読んだことがありますが、サンドイッチもですか。もうかけ算の理解なんか関係なくて「正しい順序」が「正解」で、正解にするためにどうするかって話になってますね。

 いやはや
積分定数
2012/01/07 21:57
引用
『学力低下を克服する本』(文藝春秋:発行)46頁〜47頁

>山田さんは、1円のキャラメル3個とチョコレート1個を買って、5円をはらいました。チョコレートは何円だったのでしょう。
   中略
>そして、もう一度一段階戻して考えさせるのです。
>すると、1円×3個=3円 5円-3円=2円はさすがにわかるでしょう。
>そして、このまま数字を消して、この式だけを残します。
> 円× 個= 円  円- 円=円
>そして、もとの問題に挑戦させます。
>構造がわかっていれば、あとは計算の問題です。

おおくぼ
2012/01/07 22:18
サンドウィッチ理論は「かけ算の意味」とか「式の意味」みたいな、まどろこしさがないので清々しい!!!
でも数学的な根拠はない。
おおくぼ
2012/01/07 23:17
> 「軸ここだからこうなって、・・・」とその都度やっているうちに頭の中にバイパスが出来て、途中がどんどん省略できて、結果的に解の公式がスラスラ出てくる。

 そうです。
 この場合だと、

@ 因数分解で2次方程式を解く方法 → たして -b/a かけて c/a
A 軸が x = -b/(2a) → x = (-b ± √D)/(2a) の形になる
B かけて c/a だから (-b + √D)(-b - √D) = 4ac
C 展開の公式で b^2 - D = 4ac

 これがすぐ出てくるようになるので、解の公式は暗記していないです。



 展開の公式 (x + a)(x - a) = x^2 - a^2 なのですが、高校数学で、行列とか2次曲線の導入に使えないかなと考えたことがあります。

 反比例のグラフ XY = 定数 が双曲線というのは分かっているはずですので、 X = x - y, Y = x + y とおいてみて x^2 - y^2 = 定数 がどんな図形になるか考えてもらう。

 実際にうまくいくかは分からないのですが。
鰹節猫吉
2012/01/07 23:45
(字数制限にひっかかったので、↑の続きです。)

 展開の公式 (x + a)(x - a) = x^2 - a^2 なのですが、高校数学で、行列とか2次曲線の導入に使えないかなと考えたことがあります。

 反比例のグラフ XY = 定数 が双曲線というのは分かっているはずですので、 X = x - y, Y = x + y とおいてみて x^2 - y^2 = 定数 がどんな図形になるか考えてもらう。

 実際にうまくいくかは分からないのですが。


 展開の公式 (x + a)(x - a) = x^2 - a^2 なのですが、私は y= x^2 - a^2 のグラフが (±a, 0) で x軸と交わっているイメージで頭の中に入れてますが、こういうのも人それぞれで、

○○○○○□
○○○○○□
○○○○○□
○○○○○□   (5 + 1)×(5 - 1)



○○○○○
○○○○○
○○○○○
○○○○○
□□□□    5^2 - 1^2

というイメージがしっくりくる人もいるかもしれない。

「かけ算には正しい順序がある。トランプ配りは屁理屈だからけしからん。」というのは、1つのイメージを正統と決めてしまって、他を異端としてしりぞけてしまうやり方のように思えます。
鰹節猫吉
2012/01/07 23:46
(a+b)(a-b)=a^2-b^2 を知っていれば、もしくは鰹節猫吉さんが描いた図を知っていれば、周囲の長さが一定の長方形の中で面積が最大になるのは正方形の場合であることが簡単に理解できます。
くろきげん
2012/01/08 11:44
根上生也氏が書かれたものです。
http://kamome.lib.ynu.ac.jp/dspace/bitstream/10131/7568/1/design1-14.pdf
釈迦に説法
2012/01/08 13:57
(a+b)(a-b)=a^2-b^2 の図形的解釈は、高専受験生に教えていたときに過去問で出ました。私は、「なるほど」と思いましたが、それは、普通に分配法則を使えば、(a+b)(a-b)=a^2-b^2 となることを理解した上で、「そういう見方もできるのか」と思ったと言うことです。

 ここで、「この図を使えば(a+b)(a-b)=a^2-b^2を指導できる」となると、ちょっとそれは違う。

 ペレルマンの真似をしてキノコ狩りに言っても、ポアンカレ予想は証明できない。

鰹節猫吉さんが言われるようにイメージはそれぞれで、十分に理解した人は、「そういうイメージもあるよね」と色んなイメージを捉えられるが、「そういうイメージを伝えれば子どもも理解できる」かどうかはまた別。

 おはじきにしろ、タイルにしろ、イメージを喚起する道具の1つに過ぎない程度の謙虚さが必要だと思う。

>周囲の長さが一定の長方形の中で面積が最大になるのは正方形の場合

これが、n角形だと、正n角形が面積最大であることは直感的にはほぼ自明で、子どもの頃からそう思っていたが、「そういえばちゃんと証明したこと無かったよな」とふと思い、証明しようとして結構苦労したのが去年の秋。一応解決できたw
積分定数
2012/01/08 14:45
> くろきげん さん

単純なものにいろいろ使い道があると、 「おぉ!」 という気持ちになります。

鰹節猫吉
2012/01/08 14:53
イメージと言えば、大昔に 前田の物理 という大学受験参考書がありました。


直感的イメージ重視のつくりになっていて、図やたとえ話が満載でした。

友人たちと話題になりましたが、この話題になると、はっきり2つのグループに分かれました。

(1) すごく良く分かる。

(2) なんだか、前田さんの頭のなかを解読する作業をしてるみたい。



高校生のくせに 「教育って難しいね。」 とか生意気なことを語り合っていた思い出があります。

鰹節猫吉
2012/01/08 15:08
補足

>n角形だと、正n角形が面積最大

この証明の過程で、「各辺の長さが固定されていた場合は面積最大となる必要十分条件は、多角形が外接円を持つ場合」というフィールズ賞レベルの発見をしたが、残念ながら私の年齢>30歳。
積分定数
2012/01/08 16:56
なぜ仕事の合間にコメント可能かというと、私の塾は教えるのではなく、考えさせるから。それが力を伸ばすのに最良の方法。単なる手抜きだろうという突っ込みは無しw

黒木さんのツイッターから
http://plaza.rakuten.co.jp/pinnote/diary/200810110000/
>教師が問題を出して、「この問題がわかる人は手を挙げなさい。」
と言ったときに、その問題の答えがわからないにもかかわらず、ある生徒が手を挙げた。教師に指名されても、その生徒は答えられなかった。
教師が、何故わからないのに手を挙げたのと怒ったときに、その生徒は、
「先生は、この問題がわからない人は手を挙げるなとはおっしゃいませんでした。」
と答えた。

面白いw  夜中3時に遊びに行って迷惑がられて「『いつでもお越し下さい』って言ったじゃないか!」とか
積分定数@仕事の合間
2012/01/08 17:16
 正方形は長方形でない、正三角形は二等辺三角形ではない、という具合に一貫していなくて、

 正方形は長方形だけど、正三角形は二等辺三角形ではなくて立方体は直方体ではない。正方形は菱形ではないが平行四辺形

という教師だとすごくめんどくさい。面従腹背するにもどのケースで特殊が一般に含まれて、どれだと含まれないかを覚えなくてはならない。

 面積にまでかけ算の順序に拘る人が、この件に関しては特殊⊂一般だったりしても厄介。

 「横5縦3の長方形の面積を求めよ」

長方形の公式で縦×横で3×5か?
いやいや、あえて横縦で書いてあるのは、平行四辺形の公式:底辺×高さを使いなさいというメッセージか・・・

正方形は長方形でないと認識している教師はいることはほぼ間違いないが、私が教師に聞いた範囲では、順序に執拗に拘る教師でも「正方形は長方形」に同意していた。「特殊⊂一般」を認識していない教師は少数派かもしれない。

 縦×横に拘る教師は存在するが、その教師が「特殊⊂一般」ということは正しく認識しているかも知れない。

 そうすると、上記のようなアホなこともあり得る。
積分定数@仕事の合間
2012/01/08 17:17
結局、日常言語と数学的論理学的言語解釈の混同が原因だと思う。

単語レベルでも、文脈に依存するわけで

「酒飲んでくる間運転するな」「酒は飲んでないよ。ビールだよ」

酒は、アルコール類一般(といっても、エタノール、これも文脈で判断)とその中でも日本酒だけを指す場合がある。

「卵買ってきて」と言われて、イクラや数の子やキャビア買ってきたら怒られると思う。

 これとは別に、「今年になってからは東京に一度も行っていない」というのを、東京に一度も行ったことがない人が言うのは嘘ではないが違和感がある。

 文字通りの意味としては間違いではないが、あえて「今年になってからは」ということで、「去年までは東京に行くことがしばしばあった」ということが含意される。

言語学でグライスの協調原理とか言うらしい。

 日常会話は文脈で自然に解釈しているというような話。「腹減ったね」というのは、「飯食おう」を含意しているとか。

2ちゃんねるの言語学板で昔見たネタ。

児童「先生、おしっこ〜」
教師「おしっこをどうしたいの?飲みたいの?何をしたいの?ちゃんと言わないとわからないよ」
児童「会話における相手の発言の意図を解釈する場合は、グライスの協調原理に基づき、状況・文脈から最もふさわしいと思われる解釈をするべきである。その前提に立ったときに、股間を両手で押さえて困った声で『おしっこ〜』という発言がはたして『おしっこを飲みたい』という解釈がふさわしいかどうかについて・・・」
教師「・・・」
積分定数
2012/01/08 17:44
つまり、正方形の紙と、正方形でない長方形の紙が会ったときに、「長方形の紙の方を持ってきて」と言われて正方形の方を持っていき「正方形も長方形だ」というのは屁理屈だが、長方形や正方形があるなかで、「この中で正方形を全て挙げよ」と言われたら正方形も挙げなくてはならない。

 そのあたり、小学校で「集合」をやった世代だからか私は正しく認識していたし実際にそう教わった記憶がある。

 私はさらに「三角形は四角形」という認識もしていたが、あまりおおっぴらに言ってはいけないことだと思って黙っていた。
積分定数
2012/01/08 17:52
>根上生也氏が書かれたものです。
http://kamome.lib.ynu.ac.jp/dspace/bitstream/10131/7568/1/design1-14.pdf

情報提供ありがとうございます。

>私自身は教育の現場を知らない数学者と批判される立場にないと自負しています。

とあるから、長方形の面積を横×縦でバツだとか、サンドイッチだとかの出鱈目が横行している実態は御存知だと思う。

6×8は正解でも8×6はバッテン?あるいは算数のガラパゴス性
http://blogs.itmedia.co.jp/magic/2011/12/6886-2d5b.html

>私の息子も直方体の体積を求めるテストで、似たようなケースでバツをもらってきた事があります。
息子曰く、直方体の体積は縦×横×高さなので、この順番をきっちり守って式を作らないとバツだという事だそうです。
息子にはそっちの方が間違いで、どっちでも結果は一緒である事を話したら「え!そうなの?」と言ってました。

というコメントが実際にあるにもかかわらず、

「私も掛け算の順番を間違えただけで単純に×にするのはよくないと思いますが,貴兄の娘さんの先生はきちんと指導されている可能性がありますよ.」などと脳天気なことを無責任にかいた根上生也氏と同姓同名のHNの方はきっと別人ですねw

積分定数
2012/01/08 19:18
>根上生也氏が書かれたものです。
http://kamome.lib.ynu.ac.jp/dspace/bitstream/10131/7568/1/design1-14.pdf

>どこかの塾のように、やり方だけを仕込んで表面的には成績のよい子どもを育てることはできるでしょう。

学校でもやり方だけ仕込んで表面的に出来るようにさせる授業が蔓延してるのになぜ、「どこかの塾」というのだろうか?

「大半の学校のように、やり方だけを仕込んで表面的には成績のよい子どもを育てることはできるでしょう。」という言い方でも良いはずだが。

単位のサンドイッチや「みはじ」やさくらんぼ計算、

全部小学校で教えられている。
積分定数
2012/01/08 19:24
私が小学生のときのことです。


先生 「赤緑青を光の3原色といいます。全部あわせると白くなります。」

鰹節 「太陽の光にも青い光が入ってるということですね。」

先生 「何バカなこと言ってるの?!太陽が青いわけないでしょう!」

鰹節 「先生がそう言いました。」

先生 「言ってません!」

鰹節 「白い光は青が入っていると…」

先生 「太陽は赤いのよ。頭がおかしいの?」

鰹節 「赤い光は消火栓の電気みたいなのです。」


先生 「屁理屈を言うのはやめなさい。」

鰹節 「太陽は赤いんですか。」

先生 「そうです。虹ができるのは、太陽の光が分かれて…」

鰹節 「虹は青いところがあります。」

先生 「だから何ですか?」

鰹節 「青い光が入っているということでは…」

先生 「屁理屈を言うのはやめなさい。お母さんを呼びますよ。」



30才くらいの女の先生でした。

鰹節猫吉
2012/01/08 19:27
>根上生也氏が書かれたものです。
http://kamome.lib.ynu.ac.jp/dspace/bitstream/10131/7568/1/design1-14.pdf

求残と求差の違いについて書かれているが、重要なことが書かれていない。

■本質的には区別がないこと
■全ての子どもが、「両者が違う」と認識するわけ。

かけ算の順序でもそうだが「発展段階」という言葉で「子どもに抽象思考をさせてはならない」ということを正当化している人がいる。その人自身が抽象思考が出来ていない場合も多い。
積分定数
2012/01/08 19:57
三島市教育委員会指導主事
http://suugaku.at.webry.info/201102/article_20.html
「問題文から判断すると、そういう配り方ではない。『3個ずつ蜜柑を配る』とあるから、3個のカタマリを1度に手渡すと考えるのが妥当。だから、(1あたり)は3である。」

 「柱の体積は底面積×高さというのは、高さ1の柱を段々重ねにするという発想だろうが、底面積1の細長い柱を束ねたと考えたら高さ×底面積になる」と言ったら「そういう発想はしたことがなかった」と感心していた。私は小学校のときから気づいていたしだからこそ、順序はどっちでもいいと思っていた。算数を理解していないこと自体は批判されるべき事ではないが、こういう人が教師を指導する立場にいるのはまずいように思う。
積分定数
2012/01/08 19:58
元数教協の瀬戸智子氏もそう
http://ts.way-nifty.com/makura/2009/07/post-4df6.html
たし算の意味は小学校では「合併、添加、増加」の3つです。1番目の典型として「電車5台と電車3台をつなぐとみんなで何台」というような問題が合併です。
これは5+3でも3+5でもOKで交換法則が成り立ち、子どもたちの理解も速やかです。
次に添加。
「えきに電車が5台あります。あとで3台きました。えきには何台電車がありますか。」
などの問題です。
これは、5+3ですが、3+5、とはなりません。
この考えは理科の実験で試薬を作るときも同様です。
試薬を添加する順番があるからです。
添加を教えるときは「順番」は大切なのです。
どちらでもいい、という教え方をすると子どもは混乱するのです。

この人は根上生也氏の言うところの「虚しい優等生」だと思う。

求残、求差、増加、添加、合併、包含除、等分除、・・・

数学や物理をやる上では何に必要もない算数教育用語がスラスラ立て板の水のように出てくるが、「添加と合併は違うものなのか?」と疑問にも思わないようだ。
積分定数
2012/01/08 19:59
根上生也氏と同姓同名のHNの方も

6×8は正解でも8×6はバッテン?あるいは算数のガラパゴス性
http://blogs.itmedia.co.jp/magic/2011/12/6886-2d5b.html
>掛け算には積と倍という2つの概念があります.
>積と倍を区別して指導をしている先生はりっぱです.数学を計算手順の集まりとしか考えていない大人が増えてしまうことに私は懸念しています.

しかし、順序擁護論を言う人はなぜ、「数学を計算手順の集まりとしか考えていない大人が増えてしまうことに私は懸念しています.」などという関係ない話を最後に付けるのかな?

http://suugaku.at.webry.info/201102/article_2.html
>「論理的思考の指導に時間を」 (小学校教員 31 歳)
15 日の 「算数の教え方」 の投稿について一言記したいと思います。
 抑々 4 × 5 には, 4 の五倍という意味があります。 4 人の五倍では答が 20 人になってしまいます。 これでは問題文の内容を理解しているとは言えないのではないでしょうか。 五枚ずつ四人にという文章題に当てはめると、五枚の四倍で答は二十枚、5×4 という式が妥当なわけです。 その文章に応じて式を作ることを、指導していかなければなりません。
>教育基本法の本質を変えるのではなく、正当な学習環境を与えることが, 子供の学力向上には必要だと思います。
積分定数
2012/01/08 20:00
>鰹節猫吉さん

すげー先生。自分で言っていて、虹のことまで言っているのに青い光が入っていないなんて・・・

三原色に関して黒木さんのところでかつてこんな議論があったようです
http://www.gakushuin.ac.jp/~881791/kuroki/color.html
積分定数
2012/01/08 20:05
三島市教育委員会指導主事は高校で積分で体積を求める授業を受けていないんですね。

これからぼくも新入生向けの多重積分の応用で

I = ∫_{-∞}^{∞} exp(-x^2) dx = √π

を求める話をしなければいけない。これ知らないと二年生で確率統計を習うときに困る(正規分布)。

よくある二重積分を使った計算法では

I^2 = ∫_{-∞}^∞ ∫_{-∞}^∞ exp(-x^2-y^2) dx dy

を極座標変換して

I^2 = ∫_0^{2π} dθ ∫_{0}^{∞} r exp(-r^2) dr = 2π・1/2 = π

のように計算します。しかし、極座標変換に頼らない方法もあって、

I^2 = (曲面 z = exp(-x^2-y^2) とxy平面 z=0 に挟まれた部分の体積)

を薄い円盤が重なっているものだと思って縦方向に積分して、

I^2 = ∫_0^1 (-πlog z) dz = -π[z log z - z]_0^1 = π

と log z の積分に帰着して簡単に計算する方法もあります。

色の話のもとの掲示板での議論は
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/keijiban/a0018.html#a19980819142245
あたりで読めます。下から上の方に読んでいく。cgiは止めてあります。基本的に zakuro を www に変えると読むことができる。
くろきげん
2012/01/08 21:06
>I^2 = ∫_0^1 (-πlog z) dz = -π[z log z - z]_0^1 = π

おお、確かになった!

これもそうだけど、他にも定積分でπがでてくることがあって「円と無関係なのになぜπが?」と思うことがあった。

 あるとき、「そうか、色んなところに円周率が出てくるのではなく、数学の世界の基本的な数としてπがあって、それが色んなところに顔を出す。最初に顔を出すのが円周率、ということか」と思って納得した。

I^2 =π としたら、「πは円周を直径で割った値のことです。 exp(-x^2-y^2) を全平面で積分したものとは意味が違います。値が同じでも意味は全く違います。意味の理解が大切です。数が同じだから同じだとか、計算さえ出来ればいいなどというのは考え方軽視です。」とか言われたりして。

 同様に不思議だったのは、高校時代にブルーバックス(ガードナーの数学なんとかだったかな?)で読んで知った以下のようなこと。

n人が各自1つずつプレゼントを持ってきてこれを集めてランダムに再分配する。全員が自分の持ってきたプレゼントをもらうことのない確率は、

m/n! (m:0or自然数) が1/eに最も近くなるときであるというもの。

「なんでここでe?」とすごく不思議だった。
数年前、ふとことことを思い出し、考えてみたら謎が氷解した。

eという基本的数は色んなところに顔を出す。
lim(n→∞)(1+1/n)^n に“も”顔を出す。

かけ算という基本演算も色んなところに顔を出す。
(1あたり)×(いくつ分)に“も”顔を出す。

最初に顔を出したところがその概念そのものだと思い込む人がいるようで困ってしまう。
積分定数
2012/01/08 23:31
鰹節猫吉さん

>先生 「屁理屈を言うのはやめなさい。お母さんを呼びますよ。」

の続きがどうなったか気になります。

太陽の色は、表面温度による色温度6000Kくらいでやや黄色ですが、「赤」と言いはった先生は朝日や夕日のイメージだったのでしょうか。

黒木さんの掲示板での議論のように、聴覚はスペクトル分解できるが、視覚はたかだか3分解に過ぎないというのはそのとおりで、情報量的に目は2次元入力なので、1点あたりにあまり多くのデータ量を持てないが、耳は2点しかないので、分解する余裕があるということもあるのでしょう。

もうひとつ、その議論では出て来ませんでしたが、目は強度(intensity)しか検出できませんが、耳は位相(Phase)を(相対的ではありますが)検出できるという大きな違いがあります。耳は到達時間差も検出できて、位相と時間差の2つと、音響的なスペクトル変化の3つをあわせてたった2つの耳で音源の方向を認識しています。単純に耳を含む平面内だけでなく、ある程度立体的に認識できるようです。
M
2012/01/08 23:48
>色の話のもとの掲示板での議論は
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/keijiban/a0018.html#a19980819142245

文字化けしたけど、chromeで読めました。これは、ネット上に存在する中で「かけ算の順序」に言及した、おそらく最古のものですね。脊椎動物で言えばナメクジウオのようなもの。ここからネット上で「かけ算の順序」が適応放散していく。

 「掛け算順序」撲滅が勝利して記念博物館を作った際には陳列しなくてはならないw

 色の話が、人間の視覚の関わることで物理学とは別個だというのは、音声でも言えると思う。以前、「母音ってなんだろう?あれって、人間の声帯とか鋸有象に依存する概念では無かろうか?」と思った。でやっぱり、音声学は物理学とは別のようである。

 数学と算数・数学教育も似た関係にあると思う。

求差とか求残とか等分除・包含除は数学には無用な概念。算数・数学教育の用語。

 「4人に3個ずつ蜜柑を配る」がカード配りで(1あたり)を4にするという発想は、三島市教育委員会指導主事、教条的順序拘り派、「単位サンドイッチ」信者などのごく一部を除いて容易に理解できるが、密度や速度ではなかなかそうは考えにくい。

 これは人間の心理の問題であって、数学とは別。

 ある種の魚が観賞魚かどうかは熱帯魚店にとっては重要な意味があるが、魚類学者が分類する上では多分あまり重要ではない。
積分定数
2012/01/08 23:57
>人間の声帯とか鋸有象に

人間の声帯とかの構造に
積分定数
2012/01/09 00:20
正方形⊂長方形 かどうかについて、

文科省は
「児童が混乱するので棚上げ。発展的内容として正方形⊂長方形と教えてもいい。正方形は長方形ではないと教えることはしない。だから、あなたが挙げた問題(※)は問題として不適当。あえて出題するなら、正方形を長方形とみなした6つでも、正方形を長方形とみなさない4つでも正解。あるいは発展的内容として6つのみが正解もありうる。4つのみが正解というのはまずい」

(※)塾に勤めているときに使用しているテキストにあった、3×3×5の直方体が示されていて「長方形の面はいくつ?」という問題で「4つ」

 塾のテキスト含めて、市販の問題集はほぼアウト。棚から下ろした上で、間違った解釈。この手の問題集は元・現教員が作っているらしい。
積分定数
2012/01/09 00:41
これも「かけ算の順序」と同様、文科省国立教育政策研究所は本省とは異なる見解。

http://tumakomo.blogspot.com/2010/05/abcac-httpdaiba-suuri.html
にある長方形・正方形の面積の公式問題と同様のことが近くの小学校であった。直方体・立方体の体積だったが両方、縦×横×高さとして、立方体がバツ。1辺×1辺×1辺が正解とのこと。

こういう問題についてどう思うかと聞いたら、「教師の裁量で立方体を直方体と別と教えるのもあり」という見解。立方体は直方体だが、「直方体と別」としても、縦×横×高さとしても構わないわけで2重の誤り。

「子どもは真四角と長四角という言葉で正方形と長方形を区別する。それを配慮して、正方形を長方形とは別と教える指導もあり得る」とのこと。
積分定数
2012/01/09 00:49
長方形の定義は、小学校教科書でも4つの角が直角の四角形とされているので、文字通り解釈したら正方形は長方形。

中学の単項式・多項式はこれよりもひどい。

単項式を定義した後に、「2x+2yのように、単項式の和の形で表された式を多項式といいます。」と書いてある。

ここまでだと、玉虫色で、「単項式は単項式ではない」との解釈も成り立つが、そのすぐ後に、

文字式がいくつか示されて「単項式と多項式に分けなさい」という問題が続く。

 単項式が多項式でないことが極めて濃厚となる。

 「多項式全体の集合は和に関して閉じている」は誤り!x^2+x+1と−x−1の和は、多項式全体の集合から飛び出してしまう!
積分定数
2012/01/09 00:58
>ここまでだと、玉虫色で、「単項式は単項式ではない」との解釈も成り立つが、そのすぐ後に

>ここまでだと、玉虫色で、「単項式は単項式ではない」とは書いていないとの解釈も成り立つが、そのすぐ後に
積分定数
2012/01/09 00:59
高校数学にもある。しかもまさにこう言うことを学ばなくてはならない、論理・命題のところで!!!

( )に当てはまる最も適当な語を1〜4の中から選べ

x=4は2x=8であるための、( )
1.必要条件 2.十分条件 3.必要十分条件 4.必要条件でも十分条件でもない

教科書会社によれば正解は 3.必要十分条件 のみ!。

x^2=16の解としてx=4とすると普通はバツである。「条件に合うものを全て過不足なく書き出す」のが
不文律としてある。

それにしたがえば、1.必要条件 2.十分条件 3.必要十分条件 の3つを書いたときのみが正解のはず。

教科書会社は問い合わせに対して、「『最も適当』というように、『最も』という文言があるから3.必要十分条件のみが正解」という最もテキトーな回答。

P→Qが成り立てば、PはQであるための必要条件。逆が成り立とうが、PがQの十分条件であることは揺るがない。「適当さ」において、「必要十分条件」にいささかも劣るものではない。

 そのあたり、大学入試センターは立派。

1.必要条件ではあるが十分条件ではない
2.十分条件ではあるが必要条件ではない
3.必要十分条件 
4.必要条件でも十分条件でもない

という選択肢になっている。
積分定数
2012/01/09 01:10
>> 先生 「屁理屈を言うのはやめなさい。お母さんを呼びますよ。」
> の続きがどうなったか気になります。

 結局、本当に母が呼ばれました。

 「怪しいな。」と思って先生を観察しているうちに、先生の教科書には赤い字で答えが印刷してあるというのを発見していました。

 「先生は分かってないけど、赤字を見てしゃべっている。」とか友人たちに言いふらしたので問題になりました。

 これ以外にも、算数の問題で、先生の教科書の赤文字が間違っていたことがあった(単位が違っていました。)のですが、このときも先生は赤文字で書いてあるとおりに間違った採点をしました。このときも「先生は赤文字をみてしゃべってるだけ。」と言いまして、母が学校に呼ばれました。

 そういうわけで、相当に激しく怒っていたようです。
鰹節猫吉
2012/01/09 01:12
色といえば、色度計という色を数値化する機械がありますが、案外あてにならないんですよねぇ…

これも3つの数値が出てくるんですが、透きとおっっているものを何度か繰り返し測ると、測るたびに全然違う値が出てくる。
鰹節猫吉
2012/01/09 01:20
他にも問題文の意味が曖昧なのがある。「生徒には完璧な回答を求めるくせに・・・」と思うことがある。

サイコロを5回振った。1の目が2回出る確率は?
「ちょうど2回」「少なくとも2回」どっち?

2次関数があって、「0<x<5の範囲にこの関数のグラフとx軸の交点がある条件」

「条件」は「必要十分条件」として欲しいがまあそこはいいとする。私はてっきり、「0<x<5の範囲に少なくとも1つ交点がある」という意味だと思ったが、正解を見ると「2つの交点全て(重解の場合は1つ)が0<x<5の範囲にある条件」という解釈によるものだった。

 その解釈は無理だと思うが・・・

「x軸との交点はすべて0<x<5の範囲にある」はどうか?

私なんか、交点を持たない場合は「すべて0<x<5の範囲にある」と見なせると思うが解釈が分かれるかも知れない。

「x軸との交点が存在し、かつ全ての交点が0<x<5の範囲にある条件」なら曖昧さはない。

いやでも、

「全ての交点」というのだから、交点が1つの場合は「全ての」とか言うのはおかしいから、問題文から「交点が1つの場合は条件に当てはまらない」とか言い出す人がいたりして。

 トンデモ授業の例を色々知っていると、心配性になってしまう。
積分定数
2012/01/09 01:24
鰹節猫吉さんの事例はすごいな!
積分定数
2012/01/09 01:27
> これは、ネット上に存在する中で「かけ算の順序」に言及した、おそらく最古のものですね。

ここから参照されているfj.education.mathにおける1997年3月の議論はgoogle groupsには拾われているのでまだ参照可能です。google accountを要求されるけど。他にfjのアーカイブを公開しているところってどこがあるかな?
TN
2012/01/09 08:38
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/keijiban/a0018.html#a19980821195612

ぼくが掛算の順序にこだわる教え方の問題に気付いたのはfjでその話が話題になったからです。そのときの議論にぼくも直接参加しています。しかし、算数教育界全体をゆるがすような大問題であることはまったく理解してませんでした。

fj.sci.math の議論は
http://bit.ly/yxVMyw
で読めます。URLを短縮しないと
http://groups.google.com/group/fj.education.math/browse_thread/thread/158678b5939a7f9a/4e845bb151d2aa7e?hl=ja#4e845bb151d2aa7e

議論の始めに Chiharu Kato さんが掛算順序擁護派にそれじゃあ「一人が2時間づつ歩くことをノルマと決めた時に時速4kmで10人が歩く場合に、総距離は?」の正しい答はどうなるんだと問いかけていたのが印象的でした。その気持ちは今でもよくわかる。

当時も被乗数と乗数の区別と掛算の順序を正しく書くことを混同しまくっている人がいました。
くろきげん
2012/01/09 09:37
http://groups.google.com/group/fj.education.math/browse_thread/thread/158678b5939a7f9a/bdce42c5f050f99b?hl=ja#bdce42c5f050f99b
1997年4月6日, 午後5:00
で大石さんという人が「犬が6ぴきいます。足はぜんぶで何本ですか?」という問題に「6ぴき×4本/ぴき=24本」と息子が答えたらバツをつけられたという話について次のようにコメントしていました。

>大石の結論は、息子さんの先生は正しい。です。
>「掛け算に順番はあるのですか?」と聞かれれば、「ある。」と答えます。
> 小学校2年生で習う掛け算は、「被乗数」と「計算結果」の単
>位が同じである。という、内容です。
 
> 息子さんの解答は、
>・6ぴき×4
>これを言葉で解釈すると、「6ぴき入っているかごが4つあります。
>だから全部で24ひきです。」という意味になります。
>決して24本にはなりません。
> Katoさんは4という数字を「本/ぴき」と解釈しているようで>すが、
>これが大間違いなのです。
> それにひきかえ、先生の示した解答は正しいのです。
>・4本×6
> これは、犬1ぴきにつき4本もっている。 6ぴきいたら全部で24
>本だ。という意味なんです。

当時はこれが「何」なのか、まったく理解してなかった。まさか、こういう教え方がそのまんま教科書指導書に書いてあるなどと思ってもいませんでした。「6×4だと6匹の4つ分で答えが犬の匹数になってしまうことをおさえる」(←これを普通の一般人に理解しろと言っても無理だと思う)という東京書籍の教科書指導書方式の教え方をこの大石さんは知っていたんでしょうね。

くろきげん
2012/01/09 10:11
この変なサイト「6×8と8×6が違うこと、それを子供に教えること」で、参考文献に小宮山博仁さんの本があるので驚いた。

http://www.collegium.or.jp/~kutomi/index.php?%A3%B6%A1%DF%A3%B8%A4%C8%A3%B8%A1%DF%A3%B6%A4%AC%B0%E3%A4%A6%A4%B3%A4%C8%A1%A2%A4%BD%A4%EC%A4%F2%BB%D2%B6%A1%A4%CB%B6%B5%A4%A8%A4%EB%A4%B3%A4%C8

>小宮山博仁「「算数」ここさえわかれば、必ず伸びる!」,サンマーク文庫
>小学の算数について書かれた本で、数年前、小学生を教え始める前に読んで、私はとても参考になりました。
>結局今回の文章の後半も、この本の内容とだいぶかぶってしまいました。かぶった点のいくつかは注釈で明記しましたが、気づいてない部分があったらすみません。
>改めて、この本に感謝したいと思います。

小宮山博仁さんは教育評論家として有名で、本の内容から推測すると、遠山啓理論の影響を強く受けていると思います。
でも順序派ではありません。
おおくぼ
2012/01/09 11:04
西三数学サークルに反応有り。

>積分定数さんへ 投稿者:藤沢雄輝 投稿日:2012年 1月 9日(月)17時28分15秒 返信・引用
>「み(ちのり)は(やさ)じ(かん)」、「は(やさ)じ(かん)き(ょり)」は、聞いたことがありますが、「くもわ」は知りませんでした。よかったら、意味を教えてくださいな。
おおくぼ
2012/01/09 23:50
>西三数学サークルに反応有り。

どうもありがとうございます。議論は可能かな?小学校の先生は少ないみたいだけど。


「かけ算議論」黒木さんの掲示板のさらに前が現存していたのですね。

 15年の時を経て、「順序」の正体はその頃にくらべれば明らかになりつつあるものに、会話が成り立たない状況は、基本的に当時も今も同じですね。
積分定数
2012/01/10 04:44
中学の武道必修化、

「かけ算の順序」を追求してきた経験からすると、とてつもなく恐ろしく感じる。

事故になったら誰が責任とるのか?

文科省 事故のないようにお願いしていました。
教委  事故のない様に研修しました。
教師  研修で言われたとおりに指導していました。

とでもなりそう。


死亡事故まで含めてこれまで文科省への事例報告の義務がなかったというのも唖然とした。

武道に限らず体育授業やマラソンでの死亡例をたまに聞く。私の高校でもあった。

 そういうのがあったときは、「これは大変だ、二度とおこさないようにしなければ」と危機感を持って何らかの対策がとられているようになっているのかと思っていた。

日の丸掲揚率だの君が代斉唱率などくだらないことばかり逐一調べやがって・・・
積分定数
2012/01/10 07:41
武道必修化って、礼儀作法がどうたらというのが理由みたい。

掛け算順序論争を当てはめると

柔道は危険だ。必修化はやめるべきだ、という意見に対して

礼儀作法がどうでもいいというのか!?。そもそも最近の若者は礼儀作法がなっていない。だからこそ、・・・

と延々続き、危険性の話からどんどんずれてしまう。
積分定数
2012/01/10 07:51
>日の丸掲揚率だの君が代斉唱率などくだらないことばかり逐一調べやがって・・・

>武道必修化って、礼儀作法がどうたらというのが理由みたい。

科学の基本は、仮説を出して、実証することです。
だから小学校でもできます。
重要なのは統計を読むということです。
統計を見ないと全体図がわからないからです。
統計を読めない政治家や評論家が多い気がする。

柔道は危険!

http://www.geocities.jp/rischool_blind/sports.html
おおくぼ
2012/01/10 16:16
これは野球にも言えます。
精神主義が横行して、多くの子供が被害にあってきました。

参考

http://www.amazon.co.jp/野球を学問する-桑田-真澄/dp/4103239611/ref=sr_1_2?s=books&ie=UTF8&qid=1326179874&sr=1-2
おおくぼ
2012/01/10 16:21
全国柔道事故被害者の会http://judojiko.net/

「かけ算の順序」を追求したことで、文科省・教育委員会・学校現場の間の無責任体制・混乱を目の当たりにした。なるべく見ないようにしていたが、算数教育だけの話ではなさそうですね。

予防接種の注射器使い回し禁止はかなり以前に厚生省が通達を出していたにもかかわらず、徹底されたのは80年代末だと、「ためしてガッテン」でやっていた。

 人命に関わることがちゃんと行われているのかどうなのかをきちんと調べないというのは、不可解。
積分定数
2012/01/10 16:40
例えば、統計から何らかの相関関係が読みとれても、それが因果関係を表すとは限らない、というのは当然だが、

相関関係と因果関係の混同とか言う以前に、そもそも統計なんか関係なく、

少年犯罪が増えている(ほんと?)という話が、いつのまにやら日本の伝統文化の素晴らしさがどうたらという話になってしまう。

 居酒屋で管を巻くおやじレベルの政治家が多すぎる。

 「かけ算の順序」と同じ!
積分定数
2012/01/10 16:50
少年犯罪について

http://pmazzarino.web.fc2.com/lesson2.html
おおくぼ
2012/01/10 17:12
高校のラグビーも危険!

高校だけ見ると、柔道よりも死亡する確率が高い。
おおくぼ
2012/01/10 17:14
統計は全体を見て、また分解して見ることも重要です。
例えば、自殺率です。
1997年頃から急激にアップしました。
でも男女比を見てみると、女性はそんなに増えていません。

http://www.nikkei-science.com/page/magazine/0305/sp3.html

また都道府県別に見ると、寒い地域の自殺率が高いです。

http://www2.ttcn.ne.jp/honkawa/7340.html
おおくぼ
2012/01/10 17:23
ラグビーは首を折って半身不随になる場合があるそうですね。そういう危険性を十分知らせた上で、選択するというのが筋。

川遊びでの事故もあるけど、部活動、体育での必修問うのと同レベルの話ではないと思う。

積分定数
2012/01/10 17:48
以前新聞で読んだ内容。

耐震工事だったかなにか忘れたがとにかく人命に関わる事に関して、各学校でちゃんと実施されているかがかなり杜撰で、教育委員会だったか文科省もちゃんと調べていなかった、

というのがあって、記者が「日の丸・君が代」と比較してあまりに杜撰ではないかと、教育委員会or文科省の役人に質問したら、「日の丸・君が代」に関しては政治家がうるさいから、という返事。

 どっちが重要か、わかりそうなものだけどね。
積分定数
2012/01/10 17:52
学校事故関係は、名古屋大学の内田良先生がご専門です。
http://www.geocities.jp/rischool_blind/outputs_risk.html
釈迦に説法
2012/01/10 17:57
http://www.inter-edu.com/forum/read.php?903,2045894,2378100,#msg-2376976
順序派は、異種菓子詰め合わせ問題の話を出される
と、
 「そのような見方もある、と理解したうえで、
  順序主義に沿った解き方の方が優れている
  と教えるための問題だ」
と言うようです。
どこだか忘れましたが、同様の問題について、元の
本には「どちらの見方も可能」と書いてあるのに、
「どちらでも良いとは言ってない」と解説を付け足
している例を見たことがあります。

***********************

そこで思いついたのですが、順序主義でありながら
授業で異種菓子詰め合わせ問題を扱う小学校教師は、
無理数を発見してしまったピタゴラスの弟子のよう
な物だと思います。
ゴルゴ・サーディーン
2012/01/10 22:41
統計は期間も重要です。
どのくらいの期間で見るかによって違います。
前のコメントで紹介した少年犯罪の分析記事は、『反社会学講座』 (ちくま文庫) パオロ・マッツァリーノ:著という本になっています。
あと『ダメな議論―論理思考で見抜く』 (ちくま新書)飯田泰之:著や『新潮選書 日本はなぜ貧しい人が多いのか 「意外な事実」の経済学』原田泰:著もオススメです。

こういう本をいろいろ読むと、政治家も評論家も算数のできない人が多いことがわかってしまいます。
おおくぼ
2012/01/10 23:46
小学生は文章題が苦手で、絵なら理解できるということは興味深いです。
その観点から見ると、筑波大学附属小学校の有名教師・田中博史さんの「文章題カルタ」は、優れていると思います。

http://www.bunkei.co.jp/school/hitoyume/pdf/10_06_3.pdf

でも田中博史さんは、掛け算順序派だったりします。
おおくぼ
2012/01/11 08:34
学校事故を研究している人がいても、それが行政にきちんと反映しているのだろうか?と不安になる。

>異種菓子詰め合わせ問題

これが書かれたpdfが見えなくなりました。まだありますか?
積分定数
2012/01/11 11:08
数教協の機関誌「数学教室」に掲載されたという実践報告↓
http://www.ne.jp/asahi/akita/school/sansu/5nen/05kakewari5.pdf
これを読むと、水道方式への疑問を感じてしまう。

小学5年生です。

>「畑1 u あたり0.6 &ccedil;の液体肥料をまきたいと思います。肥料は0.45 &ccedil;あります。全部で
何u の畑にまけますか? 」
という問題の正解率は、大変低いです。
>一つ目の理由は、かけ算とわり算の意味をきちんと学ばずに、あるいは学んでも忘れて
高学年になっているからです。

「順序」をみっちり教えてかけ算の意味を理解させたんじゃなかったのか?
それでも正解率が低いなら、「順序」という手法が効果をもたらさない可能性を疑った方が良いと思うが、この教師は「順序の徹底が不十分」と思ったようだ。

5時間かけてこれをやるのだけど、途中で読むのが面倒になりました。
私はこういう教師に教わらなくて良かったと思います。

私自身は割り算を習った頃に、割り算に2種類あると気づき、すぐに、それは間違いで同じ事だと悟りました。そのあとに、等分除と包含除を区別するように言われたら混乱したかも知れません。

問題自体に向き合い、試行錯誤して考えれば自ずと答えが見えるのが、算数・数学の魅力。
教師の作った恣意的なプロセスに乗ることを強要されるとしたら、算数が嫌いになるか混乱してしまったかもしれません。
積分定数
2012/01/11 11:11
以前紹介した「くふうしえてけいさんしましょう」http://www.excite.co.jp/News/bit/E1221751302538.htmlも、児童が楽をしたい、なるべく計算の苦労を軽減したいということで工夫するというのではなく、「教師が求める工夫とは何か」を探ることになっているようで、疑問に思えました。エレガントでも泥臭くてもいいから、その子が自分なりの方法でまずは答えを出すことが大切だと思います。


ちなみに、冒頭の問題、私ならどう教えるだろうか。

「畑1 u あたり3粒の種を撒きます。畑の面積は5u です。種は何粒必要」というような簡単な問題から考えてもらいます。場合によっては、蜜柑を配る問題まで戻るかも知れません。

小5におはじきという訳にはいかないかも知れませんが、○を描いて数えてもらうとかして、かけ算・割り算の感覚を養いながら徐々に自然数から連続量へと移行させます。

そこで子どもが、等分除と包含除を異なるものと捉えても、同じものだと正しく捉えても構わない。思考のプロセスにはなるべく介入しない。

小学生を教えた経験はほとんどないが、「みはじ」「くもわ」でやってきて化学のモル計算がわからなくなった状態の高校生には似たようなことをする。
積分定数
2012/01/11 11:12
mixi 数学コミュニティ 中学数学トピ は、まさに小学校教育の失敗例が議論されてます。


> ▼ [471] 2012/01/11 01:30
>
> すみません馬鹿な質問です
> @6%の食塩水120gには何g食塩が含まれていますか。
> 120×(6/100)
> で5gで合ってますか?


つまらない計算ミスです。分数を逆さまにしちゃったわけですが、問題はなぜそんなつまらない間違いをして、しかも間違っていることに気づかないのか? ということでしょう。


かけ算はそのままかける、わり算は逆さまにしてかける、という公式にあてはめようとして、間違った。

100グラムで6グラムの塩が入ってるんだから、120グラムだったらもっと塩が入っていると気づきそうなものだが…


ちなみに 473番 が消してありますが、もともとは

> 式で書くとどうなりますか?

と書いてありました。教師が望んでいる公式を書いて得点を得ようとしているのが分かりますね。

鰹節猫吉
2012/01/11 12:44
3%と5%の食塩水を混ぜて、0.04%とか、普通に考えたらあり得ないだろうと言うのを平気で出す子がいますよね。

式を立てることが優先課題のようだ。

重要なのは「くもわ」だの三用法だのではなく、割合の意味そのものを理解すればいいだけなんだけどね。
積分定数
2012/01/11 13:01
三用法で検索したら出てきた。
http://buchiyamato.nomaki.jp/5jou9wariai.html
くだらねー
積分定数
2012/01/11 13:17
こんな調査があります。

http://repository.aichi-edu.ac.jp/dspace/bitstream/10424/1224/1/epsilon473944.pdf

加減逆思考問題の第二及び第三学年における正誤パターンの解釈
おおくぼ
2012/01/11 15:16
>でも田中博史さんは、掛け算順序派だったりします。

田中博史さんのブログがあります。
コメントもできるようなので、聞いてみたらどうでしょう。
http://tanahiro-hirosen-p.blog.so-net.ne.jp/
釈迦に説法
2012/01/11 20:03
積分定数さん
2011/12/22 13:38

>小学校の現場の教師を含めないところで、「数式の意味の問題とバツの話の混同」という指摘が「ピントはずれだ」とかどうのこうのと言ったところで、全く生産的でないと思うのです。「バツの話」は、授業での目標やテストの位置づけに関わる教育学的なことだからです。

この文章よく読むと、数式の意味の正しさに関係なく、バツを付けるかどうかは、授業での教え方やテストで教師が何を確認したいかによって決まる、と言っているように見える。結局バツを教師の主観、恣意的につけることが「教育学的」ということなのだろうか。
M
2012/01/11 20:56
だとすれば、数学教育で掛け算の順序が主流(?)なのもうなづける話だと思う。教育とは便宜の押し付けということなのであろう。
M
2012/01/11 20:58
釈迦に説法さんへ

田中博史さんのブログは知っていますし、田中博史さんの本にハッキリ書いてあります。
おおくぼ
2012/01/11 21:06
>Mさん

その人は、私のコメントを誤読している上に、言っていることも意味不明なんですよね。突っ込みどころ満載で、そもそも数教協関係の団体に「このことについてどう思いますか?」と質問することがいけないことなのか?「教育学的なこと」からみて、じゃあしつこく順序を教えることに意味があるのか?とか、色々あるんだけど、話が通じそうにないですね。
積分定数
2012/01/11 22:35
田中博史さんのブログのコメント欄に書き込みはいろいろあるけど、田中博史さんは返事をしていませんね。
おおくぼ
2012/01/11 22:40
田中博史さんは最強の順序派だと思うのです。
このような優秀な先生に「かけ算には正しい順序がある。」とか「かけ算の順序を変えたら意味が変わる。」と言われれば、ほとんどの小学生は信じてしまうと思う。
おおくぼ
2012/01/11 22:48
>「教育学的なこと」
 リンク先の内容を詳しく見ていないのですが、
彼等の頭の中にある物が見えるような気がしま
す。
 ここに参加している人にとっては、数学・算
数の根底に人間が作ったのではない普遍の原理
があることは常識だと思います。が、彼等はそ
うでなく、数学・算数はすべて人間が作り出し
た物だと思っているのです。
 そのため、掛け算の順序というものが、普遍
の原理に属する部分でのウソであるという意識
が無くて、例えて言えば、小学校の外ではほと
んど使われない「デシリットル」などという物
を重用しているのと同次元の事だと思っている
のです。
「小学生の剣道では“突き”が禁止なのと同じ」
などという言葉にも、それが現れています。
ゴルゴ・サーディーン
2012/01/12 03:06
>「小学生の剣道では“突き”が禁止なのと同じ」

そのような認識なら、まだましです。
ただし、「小学校の剣道では」というローカルルールであることをはっきり教えないといけません。
中学、高校になっても「反則だ」と公式試合で抗議するようでは困るわけで。

「小学校の教師を含めないところで・・・」などという意見を目にすると、実は、小学校の世界しか存在しないと思っているのではないかという気がしてきます。自分の世界しか見えないのは他の職業でも有りがちですが。
zorori
2012/01/12 06:21
>彼等の頭の中にある

このブログ主だけなので「彼」です。デシリットルも世間ではあまり使わないけど、使っているところもあるらしいし、千分の1リットルのCCより10分の1リットルの方が教えるのに都合がいいと言うこともあるのかも知れません。
積分定数
2012/01/12 07:35
http://www5b.biglobe.ne.jp/~nabe2051/にHPがありました。

ざっと読むと、組合活動や数教協他の民間教育運動にも関わり、法則化批判もし、退職後にボランティアをしたり、精力的に活動されている方のようですね。

 それはいいとして、当人の物事を考える力はどの程度なのかと疑ってしまう。質問と批判、批判と誹謗中傷、などを区別できない段階で、駄目じゃんと思ってしまう。これほどまでに読解力がない人が教師をやっていたんだね。

 これを見ると、結局ある団体・組織に長く関わっていると、色んな人と出会いがあったりして、愛着が沸き、外部からの声に対して過剰防衛してしまうというのは人間の性なのかな、と思ってしまう。

 立場とかしがらみ関係なく、数学教育のあり方を議論するというのは、到底無理なのかな?
積分定数
2012/01/12 07:43
数教協のHPみたら、この方は東海地区の委員長のようですね。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/ozawami/yakuin/yakuin.htm
>東海地区数学教育協議会   委員長  渡辺 靖敏
積分定数
2012/01/12 07:54
ゴルゴ・サーディーンさんへ

>ここに参加している人にとっては、数学・算数の根底に人間が作ったのではない普遍の原理があることは常識だと思います。
>が、彼等はそうでなく、数学・算数はすべて人間が作り出した物だと思っているのです。

私はそうは思いません。
私が小学校の掛け算の正しい順序教育がおかしいと思う理由は・・・
1 数学的な根拠がない。
2 数学的な根拠のないルールが、大事な数学のルールに反する。
私は数学が普遍的な原理ではなく、(全てではないにしても)人間が作ったルールだと思います。
数学には普遍的な原理ではないにしても、数学のルールがあります。
数学のルールは、数学的な根拠が必要になります。
だから数学的な根拠のないルールを混ぜて教育する時は、大事な数学に反するかどうかが重要です。
これはサッカーのルールに野球のルールを混ぜていいのか?と同じ理屈だと思います。

小学校で剣道の突きを禁止の場合は、剣道の大事な公式ルールを阻害するわけではありません。
掛け算の正しい順序教育の場合は、小学生を危険から守るわけでもないし、むしろ弊害の方が多いわけです。
おおくぼ
2012/01/12 09:54
追記

サッカーの比喩を試みます。
数学には数学独自の根拠があるように、サッカーにはサッカー独自の根拠があると仮定します(本当にあるかどうかは知りません)。
静岡県のサッカーでは静岡県独自のローカル・ルールが採用されていると仮定します。
例えば、静岡県ルールではキーパーもボールに手が触れてはいけないと仮定します。
この場合、静岡県の選手とコーチは、静岡県ルールがローカル・ルールであることを知っていないと困るわけです。
おおくぼ
2012/01/12 10:12
事例報告

http://info-cache.com/blog/log/eid113.html
 つい最近、採点されたこどものかけざんの文章問題のテストを手渡されて思ったことです。

次女
「一問だけ式まちがっちゃった」

管理人
「どれどれ・・・・・・・・・・・???間違ってないじゃん!どこが間違いなの?」

次女
「かける数とかけられる数がはんたいなんだって!」

管理人
「なに?式の掛け算の数字の前後も採点に関係するの?なんだそりゃ!」
積分定数
2012/01/12 11:13
生物系理学博士の片瀬久美子さんが順序派(@isogava:)とツイッターで議論していました。
片瀬久美子さんの指摘は明快です。

>総数を求める計算に助数詞は気にしなくてOKです。 RT @isogava:計算順の話題は実は数える単位の理解度を試す質問で、理解していないとから答えの順序を間違えて×になっただけだと思います。計算順はどちらでもいいことは教師はわかってるはず。教え方と採点法もばらばらじゃ困るし。

>いや、だから総数を求めるのに単位は外して考えていいんですよ。単位に拘る必要はないです。単位の理解度なんて全く変。 RT @isogava: ええ、だからあの設問は計算問題にみせかけた単位の理解度テストだと思ってます。いや、だから総数を求めるのに単位は外して考えていいんですよ。単位に拘る必要はないです。単位の理解度なんて全く変。 RT @isogava: ええ、だからあの設問は計算問題にみせかけた単位の理解度テストだと思ってます。

>「設問に応じて順序を変える練習」自体がナンセンスで意味が無いんですよ。 #掛算 RT @isogava:総数計算にみせかけた単位の設問だと思ってるので、、、九九が終わって小さい数からと大きい数からの計算ができるようになった後に僕は設問に応じて順序を変える練習をした記憶があるので。

>単位の理解と掛け算の順番は無関係なんです。まず、これを認識できないと誤解したままですよ。#掛算 RT @isogava
:@kumikokatase 当事者のお子さんが単位について不理解だったことだけが勝手に気がかりなだけです。しつこくてすみません。
おおくぼ
2012/01/12 14:32
上のツイッターの引用が読みにくいので、対話形式に変えてみます。
萬木智(虎)=@isogavaです。

萬木智(虎): 算数の計算順序の話題は、実は単位の理解度を試すテストであったことに気づかないクラスタが空騒ぎしているので、ワイドショーで学習塾の先生が「そんなことじゃ成績下がるし中学入試でコケますよ」と発言して一気に沈静化すると予想してみる。

萬木智(虎): 5×8とか8×5の計算なんて九九を終えていれば全員満点になるからそんな無駄なテストはしません。教師も生徒も暇じゃないので。

萬木智(虎): 計算順の話題は実は数える単位の理解度を試す質問で、理解していないとから答えの順序を間違えて×になっただけだと思います。計算順はどちらでもいいことは教師はわかってるはず。教え方と採点法もばらばらじゃ困るし。

次のコメント欄に続きます。
おおくぼ
2012/01/12 14:54
続きです。

片瀬久美子: 総数を求める計算に助数詞は気にしなくてOKです。

萬木智(虎): ええ、だからあの設問は計算問題にみせかけた単位の理解度テストだと思ってます。それが算数かといわれると、、算数でしか教えられないからそんなものかなあというところ。

片瀬久美子: いや、だから総数を求めるのに単位は外して考えていいんですよ。単位に拘る必要はないです。単位の理解度なんて全く変。

萬木智(虎): 総数計算にみせかけた単位の設問だと思ってるので、、、九九が終わって小さい数からと大きい数からの計算ができるようになった後に僕は設問に応じて順序を変える練習をした記憶があるので。総数計算のためならあの設問自体不要でしょう。

片瀬久美子: 「設問に応じて順序を変える練習」自体がナンセンスで意味が無いんですよ。
おおくぼ
2012/01/12 14:55
相変わらず、順序派の言うことは訳わからん。

>後に僕は設問に応じて順序を変える練習をした記憶があるので。

自分が経験したから正しいという発言も定番。
積分定数
2012/01/12 15:11
http://mytown.asahi.com/shizuoka/news.php?k_id=23000001201120003
柔道部員死亡 顧問を書類送検
2012年01月12日

 函南町立函南中学校で2010年6月、柔道部員の1年生男子生徒(当時12)が練習中に倒れ、9日後に脳挫傷で死亡した事故で、三島署は11日、柔道部顧問の男性教諭(45)を業務上過失致死容疑で地検沼津支部に書類送検した。容疑を認めているという。


 同署によると、男性教諭は10年6月27日、同校柔道場で、受け身の練習など負傷事故に対する未然の防止策を十分にとらず、投げ込み練習中に後頭部を強打した男子生徒を死亡させた疑いがある。


 男子生徒は同年5月8日に地域の柔道団体の練習をした際に頭を強打し、軽い急性硬膜下出血と診断された。1週間ほど入院した後、医師から激しい練習を避けることを条件に練習再開が許可されていた。


 函南町教育委員会の矢田長春教育長は「施設の安全確保、教職員の意識の徹底など、一層の努力を続ける」との談話を出した。
積分定数
2012/01/12 15:12
記事の続き

 ■武道必修化 不安の声も


 全国の中学校では来年度から柔道などの武道が必修化される。練習中の事故が相次ぐなか、県教育委員会には保護者らから指導に対する不安の声が寄せられている。


 名古屋大学大学院の内田良准教授(教育社会学)によると、全国の中学、高校での柔道による死亡事故は1983〜2010年度で114件発生。その死因の大半が急性硬膜下血腫など頭部外傷によるものだという。内田准教授は「教える側は、実技だけでなく頭部外傷など医療知識を備える必要がある」と指摘する。


 県教委では、10年度から県内の公立中学校173校(静岡市、浜松市を除く)の保健体育教師らを対象にした研修を実施。県柔道協会などから講師を招き、実技や安全面への配慮を指導した。学校教育課の担当者は「医学的な知識を持ったうえで、受け身の練習など初心者に合わせた指導を徹底したい」と話す。
積分定数
2012/01/12 15:13
一昨年、近くの中学であった事故

不安に思いながら子どもを学校に通わせるのもいやなものだろう。

教育委員会は事故防止に努めると言っているが、「かけ算の順序」を調べた経験からすると、甚だあやしい。

 今はまだ話題になっているから、慎重にやるかも知れないが、何年もやるうちにいい加減になってしまわないだろうか?

 不安である。
積分定数
2012/01/12 15:16
積分定数さん
>異種菓子詰め合わせ問題のPDF
 inter-edu に書いたURLのことでしょうか?
 そこに書いた「pdfを小文字にしてください」
というのは間違いで、「半角にしてください」
が正解です。
----------------------------
おおくぼさん
>>ここに参加している人にとっては、数学・
>>算数の根底に人間が作ったのではない普遍
>>の原理があることは常識だと思います。
>>が、彼等はそうでなく、数学・算数はすべ
>>て人間が作り出した物だと思っているので
>>す。

>私はそうは思いません。

 確認ですが「そうは思いません」というのは
私の言っていることの前半部の「普遍の原理」
というくだりについてですよね?
 これは驚きです。
 「和算家が、西洋との交流のない中で、微分
  積分を発見した」
などという話は、まさに「普遍」の現れだと思
っておりましたので。
 他の皆さんはどうお考えなのでしょうか?
ゴルゴ・サーディーン
2012/01/12 22:43
ゴルゴ・サーディーンさんへ

>私の言っていることの前半部の「普遍の原理」
というくだりについてですよね?

はい、そうです。
ゴルゴ・サーディーンさんがどういう意味で「普遍の原理」を使っているかは、疑問の余地がありますけど。
私は数学は人間が作ったものだと思っていますし、変更可能だと思っています。
1+1=2もマイナス×マイナス=プラスも「普遍の原理」ではないと思っています。
私が考える数学の特徴は
1 論理的な整合性が強い体系を好む傾向がある。
2 矛盾が少ない体系を好む傾向がある。
3 便利さへの追求が強い。
4 抽象性を重視した体系である。

「小学校の掛け算」についても同じことが言えると思います。

>「和算家が、西洋との交流のない中で、微分積分を発見した」などという話は、まさに「普遍」の現れだと思っておりましたので。

私が和算家と西洋の交流について書きましたが、こんなことは書いていないと思うのですが・・・。


おおくぼ
2012/01/13 03:22
追記

掛け算に「既製のルールと違うルール」を持ち込んだ場合、既製のルールに支障がでることが問題なのです。

1 論理的な整合性が強い体系を好む傾向がある。
2 矛盾が少ない体系を好む傾向がある。
3 便利さへの追求が強い。
4 抽象性を重視した体系である。

「小学校の掛け算の正しい順序教育」は、上の4点を大きく阻害すると思います。
おおくぼ
2012/01/13 03:42
ツイッター上で、順序派が大暴れ。

http://twitter.com/#!/gf_hack

いろんな人から集中砲火を浴びている様子。
おおくぼ
2012/01/13 10:26
追記

こちらだとツイッターが対話形式で読めます(掛け算以外の対話もあるので注意)。

http://twitter.com/#!/search/realtime/%40gf_hack
おおくぼ
2012/01/13 10:43
>ゴルゴ・サーディーンさん
>inter-edu に書いたURLのことでしょうか?

そうなんですが、inter-eduにも行けなくなっちゃいました。

お菓子問題のURLをここに貼り付けてもらえますか?
湖面トランのどこかにはあると思うのですが・・
積分定数
2012/01/13 12:31
>湖面トラン

コメント蘭
積分定数
2012/01/13 12:32
こんな調査があります。

>http://repository.aichi-edu.ac.jp/dspace/bitstream/10424/1224/1/epsilon473944.pdf
>加減逆思考問題の第二及び第三学年における正誤パターンの解釈

これ見てふと思ったけど、「3人帰って今5人。元は何人?」を、

8−3=5 8人

としている子は正しく理解している。

そのうえで、5+3=8 8人 とすることに抵抗を感じるとしたら、「足し算の意味」「引き算の意味」に拘ったからではないのか?

この足し算は「合併」か?「添加」か?瀬戸智子さんに聞いてみたいと思います。「引き算の逆」という新たな概念を持ち出すのか、「残った人」と「帰って人」の合併か?でも、「くっつけた」のではなく、「はなれた」から「合併」は変。
「フィルムの逆回し」で、3人を5人に添加?

ややこしい・・・
積分定数
2012/01/13 13:50
http://kidsnote.com/2010/11/15/35or53/
の追記でリンクされている
http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/text/shou/keikaku/sansu.html
http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/pdf/emc84583.pdf
を見ても順序は書かれていないし、いろいろな求め方を考える項目がある。この後でトランプ配りだめというのは気が狂っているようにみえる。
TN
2012/01/13 14:51
こんなのがありました。

>日常生活の中で計算が活用できる子供の育成を目指した学習指導の一試み
− 「算数日記」を活用した3年「2位数×2位数」の授業実践を通して −

http://aobadb.edu-c.pref.miyagi.jp/practice_research/attach/01B0010.pdf

5頁の表4に注目とその説明。
おおくぼ
2012/01/13 15:29
追記

那覇市の小学校の例。
割り算なんですが、表と図に注目して下さい。

http://www.nahaken-okn.ed.jp/naha-c/ken_pdf/82/642.pdf

割り算と掛け算の対応が出てきて、「掛け算を逆にしたら間違い」とは書いていないけど、「掛け算の順序」を前提にした教育っぽいですね。
おおくぼ
2012/01/13 15:44
>http://aobadb.edu-c.pref.miyagi.jp/practice_research/attach/01B0010.pdf

5頁の表4に注目とその説明。

>・誤答25名4×3(21名)
>式が誤答でも,絵には正しく表すことができた児童(21名)

両方の表の内訳が書いていないけど、この(21名)って、同じ子じゃないの?だとしたら、4×3として、正しく理解しているとしか思えないが・・・
積分定数
2012/01/13 17:25
>「掛け算の順序」を前提にした教育っぽいですね

等分除と包含除の違いを認識させると言っているのだから、そうなんでしょうね。


区分求積と微分の逆演算の違いを気づかせる
指数関数と三角関数の違いに気づかせる
直四角柱と直方体の違いに気づかせる
無限次元ベクトルと数列や関数の違いに気づかせる
÷2と×1/2の違いに気づかせる
・・・

「同じであることに気づかせる」方が重要だろうが!!
積分定数
2012/01/13 17:52
「オタク.com」でも話題になっている。

http://0taku.livedoor.biz/archives/4074672.html

コメント欄の「インドとかこういう形式で問題出すらしいぜ」にワロタ。
インド式算数に、そんなのはない!
おおくぼ
2012/01/13 18:42
ところで、私のときにはタイルというのはありませんでした。タイルというのをよく聞くのですが、私の周りにはタイルを使ったことのある方は見当たりません。私の学校では小さな立方体の積木の教材でした。正式名は さんすうブロック だったと思います。おはじきも低学年で使った記憶があります。

さんすうブロックをサイコロにして遊んでいて先生に怒られた記憶があります。

テストで消しゴムを忘れてしまったのですが、先生が「そんなもの、唾つけて擦っておけば消えます!」とか言って怒鳴るので本当にそれをやったらテスト用紙に穴があいてしまって、大激怒した先生にビンタされた記憶があります。

タイルを使ったことのある方は、どのくらいいらっしゃるのでしょうか。

鰹節猫吉
2012/01/13 20:59
>「オタク.com」でも話題になっている。

相変わらず出鱈目が横行してますね。まあ算数世界のトンデモ性が周知されるのはいいことだが。

>大激怒した先生にビンタされた記憶があります。

鰹節猫吉さんの先生って、・・・・、

タイルは私も記憶にありません。「滝山コミューン」を読むと、日教組が力を持っていた時代に水道方式でやる先生が多かったみたいだけど、今は少ないんじゃないかな?

私はやった記憶はないです。

タイルにするのは連続量への移行への配慮があるのかも知れませんが、子どもが容易に描くことができない点がデメリットだと思います。分離量だけ扱うなら、○でいいと思います。

 http://math.artet.net/?eid=1287327

2×3のタイルの図は非常に違和感がある。

2次元×2次元=4次元 になってしまいそうな気がする。素直に、□□ □□ □□ でいいと思うが・・・



ところで私は明日からセンター試験を受けてきますので、あまりここに書き込めないかも知れません。ではまた。



積分定数
2012/01/13 21:37
黒木玄さんのリツーイトしている文章に吉川成夫さんの名前があった。

http://twitter.com/#!/temmusu_nagoya/status/157784332788969473

>#掛算 bit.ly/xJfOgX 小二教育技2009.11号
>は完全に順序強制。今回は初等中等教育局視学官・吉川成夫氏が関与。編集委員とは共著者のようだ。この教案?には確認の小テストが提案されている。 bit.ly/zzYBHP 模範解答はないが→

吉川成夫さんは、算数に関する著作が多い。
私も一冊だけ持ってたりする。
小島宏さんとの共著が多い。
小島宏さんは順序派だったと思う。
おおくぼ
2012/01/13 21:42
黒木さんのツイッターから
>普段イデオロギー的に争っている人であってもこの算数ネタでは一致団結するべきだと思う。ほんと「誰得?」な話。

順序派の方は、TOSSも日教組も「順序擁護」で団結しているのだから、批判派も団結しなくては!

かけ算に左右は関係ない!

文科省にも順序思想に染まっている人がいそうですね。積極的に順序に反対している勢力はないのか?
積分定数
2012/01/13 22:06
積分定数さん
異種菓子詰め合わせ問題は、こちらです。
http://www.pref.okayama.jp/uploaded/attachment/286.pdf

----------------------------
おおくぼさん
 「数学の原理は普遍か?」という本題は
後回しにして、今夜は、簡単に片付きそう
な件だけについて書きます。

>掛け算に「既製のルールと違うルール」
>を持ち込んだ場合、既製のルールに支障
>がでることが問題なのです。

 そういう部分については、私はまったく
反対しません。数学を足掛かりにすれば、
完全にそういう話になると思います。
 私自身の発言は、そういう数学を足掛か
りにはしていない物であることが多いです
が、これは順序主義の欠陥を示すうえでの
「別解」を出そうとしているのです。

【ゴルゴ】
>>「和算家が、西洋との交流のない中で、
>>微分積分を発見した」などという話は、
>>まさに「普遍」の現れだと思っておりま
>>したので。
【おおくぼさん】
>私が和算家と西洋の交流について書きま
>したが、こんなことは書いていないと思
>うのですが・・・。

 私は「おおくぼさんがそう書いた」とは
申しておりません。
 私は「関孝和は西洋との交流無しで微分
積分という考えに到達した、と広く信じら
れている」という前提で物を言っておりま
す。
 おおくぼさんが「西洋との交流はあった」
という見解だという事は、いま初めて知り
ました。
ゴルゴ・サーディーン
2012/01/13 23:13
>ゴルゴ・サーディーンさん

どうも有り難うございます。
積分定数
2012/01/13 23:21
ゴルゴ・サーディーンさんへ

>おおくぼさんが「西洋との交流はあった」
という見解だという事は、いま初めて知り
ました。

去年の11月30日〜12月3日頃のコメントに書きました。
詳しくは・・・
『江戸の天文学者 星空を翔ける 幕府天文方、渋川春海から伊能忠敬まで (知りたい!サイエンス) 』(技術評論社:発行)
中村士:著 
・・・を読んで下さい。
おおくぼ
2012/01/13 23:27
メタメタさんが、ブログで田中博史さんを取り上げています。
私が田中博史さんの本で、是非読んで欲しいのは
『筑波大学附属小学校田中先生の 算数 絵解き文章題 (有名小学校メソッド) 』(学習研究社 :発行)
です。
この本の136頁〜139頁に、ハッキリと逆の式はダメだと書いてあります。
おおくぼ
2012/01/14 00:13
こないだの東北大学大学院教育学研究科のpdfと田中博史さんの本は共通性があると思います。
1 文章題と絵に注目している。
2 遠山啓理論プラス掛け算の順序。
3 認知心理学の応用。

認知心理学については、掛け算については触れていませんが市川伸一さん『考えることの科学―推論の認知心理学への招待 』(中公新書) を想定して下さい。

掛け算の正しい順序教育は60年間の歴史がありますが、教師の間で注目されたのは80年代に原因があるみたいです。

http://ameblo.jp/metameta7/entry-11059600945.html

http://ameblo.jp/metameta7/entry-11059600124.html

80年代は文部省で、「問題解決」という教育方法が重視された時期でした。
田中博史さんの教育方法も「問題解決」を重視した教育方法です。

参考
『算数授業研究 第76号 』(東洋館出版社:2011年6月発行)
筑波大学附属小学校算数研究部 :編集
おおくぼ
2012/01/14 09:31
おおくぼさん

『絵解き文章題』確認しました。

これの19頁を見ると,増加のたし算でも,2+4と4+2を区別していますね。
しかし,絵の方が左右逆だったら,つまり,もともとベンチに座っている子ども2人が右側に描かれていて,増える子ども4人が左側から来ると,4+2の式を書くのが「普通」のように思える。この場合も,2+4のみを「正解」とするのだろうか。

筑波大附属小算数研究部が,日本の小学校算数教育の一大権威であることは間違いなく,ここが順序派である限り,日本のかけ算教育はちょっとやそっとでは変わらないでしょう。かけ算特集を組むという『算数授業研究』の次号は大注目ですね。
メタメタ
2012/01/14 16:01
メタメタさんへ

田中博史さんは合併と増加は違うと書いているので、そうだと思います。

『田中博史の算数授業のつくり方 (プレミアム講座ライブ) 』(東洋館出版社)でも、掛け算の逆の式は間違いだと言っています。
田中博史さんの本はたくさんありますが、「掛け算の正しい順序教育」の謎を解くのに、最適な人だと思います。
おおくぼ
2012/01/14 18:17
さて、「数学の原理は普遍か?」です。

"数学" "普遍" "宇宙人" でぐぐると、私
と同じことを言っている人がいっぱいいま
す。
 「世間でみんなが言っているから正しい」
というものでもないですが。

 しかしそんな事より、もっと恐ろしい物
を見つけてしまいました。
 私が 2012/01/12 03:06 で言った事は完
全に間違いだと気づかされました。
 と言っても「数学が普遍」というくだり
を引っ込めるという意味ではありません。
間違っていたのは
 「順序主義者が、それを事を判ってない」
という部分です。

http://gihyo.jp/book/2007/978-4-7741-3229-7/#toc
 (著者のうち1人は、プロジェクトマジ
  ックに登場した人と同じ名前ですね…)
>恐竜時代も「1+1=2」
>「A×B」と「B×A」は等しくない

   こ り ゃ だ め だ

 「ただ一つの例では決められない」など
と言う余地はありません。
 こういう順序主義の幹部級の人が数学は
普遍だと言っているなら、末端の信者がど
うであっても、私の言ったことは完全に間
違いですね。
ゴルゴ・サーディーン
2012/01/14 19:41
「根上生也」を名乗っている人物の発言
http://www.twitlonger.com/show/f6hhr2

黒木さんがまとめておいてくれたので、とりあえずここに保管。

明日はセンター2日目、かけ算の順序に気をとらえて間違わないようにしよう。
積分定数
2012/01/14 21:24
認知心理学者の市川伸一さんの『学ぶ意欲とスキルを育てる―いま求められる学力向上策』(小学館)には、掛け算と割り算の授業が出てくる。
割り算が掛け算の反対で、包含除と等分除の考えを紹介している。
でも順序派ではない気がする。
掛け算の式が逆でもいいという書き方をしている気がする(微妙)。

佐伯胖さんの『 子どもが熱くなるもう一つの教室―塾と予備校の学びの実態 (今ここに生きる子ども) 』(岩波書店)には、小学生の掛け算の調査があって、調査の項目に「式が逆の場合」がある。
おおくぼ
2012/01/14 21:39
「数学が普遍」というので、私が連想したのは宗教学者の中沢新一さんです。

http://www.1101.com/nakazawa/index2.html

リンク先には中央大学と書いてありますが、現在は多摩美術大学の先生ですね。
おおくぼ
2012/01/14 22:56
追記

「掛け算の正しい順序教育」とは関係ないですが、根上生也さんの文章です。

http://www.ngm.ed.ynu.ac.jp/negami/

「人間に宿る数理的原理」
おおくぼ
2012/01/14 23:02
翻訳だそうです。

> たとえば、国語から数学(算数)へ翻訳する辞書を作るとし、「AにBを掛ける」という項目があったとします。
> 私であれば、この項目は以下のようにするでしょう。
> #A×Bのこと。
> #(注意)数学(算数)の対象A、Bの間に定義される掛け算の演算が可換であれば、B×Aと計算結果は一致する。


このような発想自体が駄目なんだと思うけど…

鰹節猫吉
2012/01/15 09:28
翻訳だそうです。

http://mobile.eonet.jp/t/typecast/144385/347753/44063381

> たとえば、国語から数学(算数)へ翻訳する辞書を作るとし、「AにBを掛ける」という項目があったとします。
> 私であれば、この項目は以下のようにするでしょう。
> #A×Bのこと。
> #(注意)数学(算数)の対象A、Bの間に定義される掛け算の演算が可換であれば、B×Aと計算結果は一致する。


このような発想自体が駄目なんだと思うけど…

鰹節猫吉
2012/01/15 09:30
↑ すいません。操作ミスです。
鰹節猫吉
2012/01/15 09:32
鰹節猫吉さんのリンク先
 >結局、現場の先生からすれば当たり前
 >の意見に落ち着いていますが
 >
 >■「6×8と8×6が違う式」よりも
 >大事なこと(1)〜まずは九九の定着!!

 順序派って、あくまでもこのように、事
実ではない物が見えているんですね。
ゴルゴ・サーディーン
2012/01/15 10:29
>順序派って、あくまでもこのように、事
実ではない物が見えているんですね。

混乱の原因がわかっていないということですね。
数学的に根拠のないルールと数学のルールが対立していることが、混乱の原因だと気付いていないんですから。
おおくぼ
2012/01/15 10:51
1980年半ばからの算数教育の改変によって、教師用指導書にあった「掛け算の正しい順序教育」が現場の教師たちに注目されたのではないだろうか?
だから1980年半ばまでは、「掛け算の正しい順序教育」は少数派だったけど、それ以後に急速に増加したのではないだろうか?

本屋で算数の問題集を立ち読みした印象だと、文章題から式を作る時に、「一つあたりいくつ分」の順序が遵守されていて、「逆の式も可」と書いてある問題集がない気がする。
おおくぼ
2012/01/15 11:52
追記

現在の文科省の役人は「掛け算の正しい順序教育」を知っている可能性が高いと思うけど、ノータッチという姿勢という気がする。
吉川成夫さんの本を読んで、そんな印象を受けた。
おおくぼ
2012/01/15 12:10
> たとえば、国語から数学(算数)へ翻訳する辞書を作るとし、「AにBを掛ける」という項目があったとします。
> 私であれば、この項目は以下のようにするでしょう。
> #A×Bのこと。
> #(注意)数学(算数)の対象A、Bの間に定義される掛け算の演算が可換であれば、B×Aと計算結果は一致する。
> 「6×8も8×6も同じ答えなんだから、どっちでもいいじゃないか」という意見は、「掛け算とは2つめの掛け算」のことである、という考えにとらわれているからでしょう。
> または、「6を8倍する」と「6と8を掛ける」を日本語として使い分ける習慣がないからかもしれません。



「6を8倍する」と「6と8を掛ける」を日本語として使い分ける習慣というのを習慣にするのが算数の授業???!!!

異様な世界観である。

鰹節猫吉
2012/01/15 14:20
西三数学サークルに反応あり。

>積分定数さんへ
>投稿者:藤沢雄輝 投稿日:2012年 1月14日(土)20時22分7秒
>「くもわ」の説明、よくわかりました。ありがとうございました。
>数だけの式だと、どう考えたのか、わかりづらいですね。>単位がついていれば、少しだけかもしれませんが、その子なりの考え方がわかるような気がしますが。
>小学校では、単位つきの式は、一般的ではないのでしょうか。
おおくぼ
2012/01/15 18:03
>小学校では、単位つきの式は、一般的ではないのでしょうか。
妙に他人ごとだなと思ったのですが、

西三サークルの説明をみると、
>西三河地区の高校の教員を中心に、知多、名古屋、東三、大学、中学、小学校からも参加あり。
ということですか。
M
2012/01/15 18:52
 順序派(?)のイラスト
 http://twitpic.com/7ycxd9
これって、小学校教師か、教材の製作者が
作ったものですよねえ…

 昔、4本脚のニワトリの絵を描いた子ど
もがいただとか、店で買ってきたカブトム
シだかクワガタだかが死んだとき「電池を
替えて」と言った子どもがいたとか、そう
いう話がありますが、まさかこういう物を
見ることになるとは。
ゴルゴ・サーディーン
2012/01/15 21:31
>妙に他人ごとだなと思ったのですが、

 誰でも書き込めるようですから、コメント主が必ずしも会員と言うことでもないのかも知れません。あと、高校の先生が多いみたいです。

 まあ毒を食らわば、で、水道方式や数教協への疑問も書こうかと思っています。

積分定数
2012/01/15 22:52
田中博史さんの本を読んでいたら、「足し算の正しい順序教育』も根強いと思いました。
小宮山博仁さんの本にも、足し算と引き算には二つ意味があると書いてあって、「ブルータス、お前もか!」と思いました。
でも足し算や引き算は「一つあたり幾つ分」と関係ないので、それほど深刻ではないと思っています。

前に誰かが指摘していたと思うけど、四ツ谷大塚の問題集の文章題の解説に、掛け算の逆の式は間違いと書いてありました。
おおくぼ
2012/01/16 00:28
 足し算に順序だの、「合併と添加をくべするべき」などというのはナンセンスだというのはわかりやすいと思います。

 かけ算の順序とか割り算の包含除・等分除も本質的には同じ事だという主張は出来ると思います。

 逆にかけ算順序派に「足し算についてはどうなのか?」と聞いてみるのも面白いかも知れません。

 私に対応した教育委員会指導主事は、「だって、足し算は逆にしたって同じになるのは明白だから」と言ったので、「順序数というのがあって、逆にすると答えが違う場合があります」と反論しました。

 指導主事は長方形にまで順序に拘るのはさすがにおかしいと言ってました。しかし、前述したように、柱の体積が、底辺1の細長い柱を束ねても求められることには気づいていませんでした。

 「1あたりといくつ分の交換が容易かどうか」は極めて主観的なものであるのに、順序派は「長方形のように誰が見ても交換可能なものと、そうでないものの区別は明白」と思っているようです。
積分定数
2012/01/16 07:47
>私に対応した教育委員会指導主事は、「だって、足し算は逆にしたって同じになるのは明白だから」と言ったので、

小学校の掛け算も逆にしても答えは同じなんですが(笑)。
順序派の主張は、答えは同じでも「意味が変わる」というのをたまに見かけます。
市販の小2の問題集を見れば、計算問題では交換法則を使っているのに、文章題では交換法則を否定しているのでダブル・スタンダードです。

足し算、引き算の順序派の場合は、「時間の前後や空間の左右」が足し算や引き算の式にもあると思っているからですね。
児童心理学で、子供の書いた絵を足し算や引き算に対応させる先生がいます。
そして数学のルールだと勘違いする先生がいるみたいです。
森毅さんもその一人だと思いますけど。
文章題には数学のルールが働かないと思っている先生が多いのでしょう。
小2の文章題の解答で、掛け算の交換法則を許可しているものはないと思います。
これは酷い状況だと思います。
おおくぼ
2012/01/16 09:17
>まさかこういう物を見ることになるとは。
>http://twitpic.com/7ycxd9

この図が理科的に間違っているのですが、
そういう話には皆さん興味ありませんか?
ゴルゴ・サーディーン
2012/01/16 19:53
クローバ?
積分定数
2012/01/16 21:37
 正解です。
 まあこんな事を小学生が間違って覚えた
からといって後々重大なことになるわけで
はないんですが、こういう図を作ったり、
間違いに気付かずにスルーしたりするのっ
て、言葉のマジックに引っ掛かっているの
だと思うのです。
ゴルゴ・サーディーン
2012/01/16 21:56
うちの近所の幼稚園バスには花びら4枚のスミレが描いてありますよ。
鰹節猫吉
2012/01/16 22:21
>この図が理科的に間違っているのですが、そういう話には皆さん興味ありませんか?
>クローバ?
>正解です。

私には何故クローバなのかわかりません。
おおくぼ
2012/01/16 23:00
 理科的には、ノーマルなクローバーは3
ツ葉です。
 もちろん「文化的」には、クローバーと
言えば4ツ葉のことを指すのだという人も
いると思いますが。

>うちの近所の幼稚園バス

 いや、そういう単なる図案とは違って、
算数の例にするには、理科(や社会科)の目
で見て正しい題材にしてもらいたいものだ、
って事なんです。
ゴルゴ・サーディーン
2012/01/16 23:19
こういうのは?

タカアシガニが3匹、ズワイガニが2匹、タラバガニが4匹います。

カニは全部で何匹?
積分定数
2012/01/17 00:11
 センター試験、自己採点したが数学が相変わらず得点できない。教える立場としてはまずいのだが、結局、理屈は難しくないけど計算量が多くて、焦ってしまう。あれは数学の力を測ることになっていない。

>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E5%85%A5%E8%A9%A6%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%82%BF%E3%83%BC%E8%A9%A6%E9%A8%93
>2004年、東北大学教授の森田康夫が、センター試験の数学の問題は「計算力」で解けてしまうため「数学力」の判定にはならないという批判を朝日新聞に寄稿した。同教授の調査によれば、東北大学が独自に行う二次試験の数学の成績とセンター数学の成績に特に強い相関関係は見られなかったという。


 試行錯誤して、出てきた答えが本当かどうかをじっくり検証する という人よりも

 出てきた問題にぱっぱぱっぱと公式・解法を当てはめて処理していく という人材を求めているのだろう。

 そういう人が教員になって、かけ算の順序やら「みはじ」やらと教える。

 日本の算数・数学教育はどうしようもない。
積分定数
2012/01/17 00:18
 問題パターン事に解法手順がある。それを教えるのが数学を教えること、それを覚えて再現するのが数学を勉強すること、これが小学校低学年から大学受験まで一貫して続いているのが現状。

 1次不等式が解ける、2次方程式が解ける、というのは単に解き方を覚えているだけのことが多い。
 
 その生徒が2次不等式は習っていないとしよう。

x^2−7x+10<0 をやらせるとこうなる。
(x−2)(x−7)<0
x<2,7

1次不等式と2次方程式を折衷してそれらしきことを一応やっているが、そもそも解答の意味が不明。つまり、問題の意味が分かっていない。小手先の式変形で何となくやっている。

 xに片っ端から値を入れて目星をつけて、xの範囲を求める、などという頼もしい生徒はほとんどいない。 このことが、算数・数学教育の誤りを物語っている。
積分定数
2012/01/17 00:26
>「1あたりといくつ分の交換が容易かどうか」
困難だと感じるのはどういう心理なんだろう。
M
2012/01/17 00:39
> x<2,7

カンマはどういう意味なんでしょうか。
M
2012/01/17 00:43
ちとぶしつけかな。
その式はどういう意味、と生徒さんに聞くとなんと説明してくれるでしょうか。よくわかりません、という答えか、それとも、xは2より小さい、と答えるのか。
M
2012/01/17 00:55
>困難だと感じるのはどういう心理なんだろう。

速さと時間あたりは、確かに容易には行かないように見えます。ただし、時速1qを基準量と考えるなら、時速3qで4時間なら、その3倍の4倍とも4倍の3倍ともとらえられるので、慣れ親しめばどうということはないと思います。

>その式はどういう意味、と生徒さんに聞くとなんと説明してくれるでしょうか。

聞くと大体、「こうやって式変形してだから・・・」とか言います。そもそも問題の意味が分かっていないのです。

 マニュアルを提示されて、「なるほどこうすれば探している答えが求まる!」ということですらなく、「なんだか知らないがそうやって操作すればいいみたい」ということであって、出てきた答えが何を意味するのかわかっていない。

 だから意味不明な解答も平気で書く。

 教える方の責任だと思います。
積分定数
2012/01/17 01:15
>>「1あたりといくつ分の交換が容易かどうか」
>困難だと感じるのはどういう心理なんだろう。

 異種果物盛り合わせ問題では、皿を跨ぐ
方向に縞模様が見えるのでその方向での
「1つ分」を認めるが、全部リンゴの場合
は「そういう構造は無い」と言ってしまう
心理、でしょう。
ゴルゴ・サーディーン
2012/01/17 01:16
分離量の場合には、「近く」感じたり、または構造がつながっているもの(うさぎの耳同士や、同じ皿に載っている、など)をグルーピングして1あたりと見ているように思います。

連続量の場合は積分定数さんの仰るように、単位量の何倍というイメージがしにくいほうを1あたりにしているような気がします。

ジョーカー抜きのトランプの枚数=4x13ですが、模様と数字とどちらを1あたりに選ぶんでしょうか。
M
2012/01/17 07:23
>問題パターン事に解法手順がある。それを教えるのが数学を教えること、それを覚えて再現するのが数学を勉強すること、これが小学校低学年から大学受験まで一貫して続いているのが現状。

小学校の掛け算で、計算では交換法則が成立するのに文章題の立式では交換法則が成立しないというローカル・ルールもそんな背景があるのかもしれません。
計算は機械がすることであり、人間が計算することは人間が機械になることと同じだと思っている気がします。

でも『算数授業研究 第76号 』(東洋館出版社:2011年6月発行:筑波大学附属小学校算数研究部 :編集)は「問題解決」特集なのですが・・・(アマゾンで購入可能です。)
読むと、日本の小学校は1980年代から「問題解決」を重視した授業になっているそうです。
「問題解決」とは、生徒自身が考えて答えを出すことを重視する教育だそうです。
田中博史さんの本や、市川伸一さんの『学ぶ意欲とスキルを育てる―いま求められる学力向上策』(小学館)にも詳しく書かれています。
おおくぼ
2012/01/17 10:05
 「問題解決」と言っても、教える教師自身がマニュアル覚え込みで来てしまった。

 「考え方が大切」と言われても考えたことがないのでどうしていいのかわからない。

 「3×4と4×3、答えが同じだからどうでもいいと思っていたでしょ?これまではそれで良かったかも知れないが、これからは考え方重視だから、式の意味が大切。3×4と4×3は違うのです」

こう言われて、目から鱗が落ちたような気がして、実は目に鱗が貼り付いた、

というのを推測しています。

■ここ20年ぐらいで順序指導が増えているような印象、
■「順序重視は考え方重視、どちらでもいいという人は考え方軽視」という順序派の詭弁

とも合致します。
積分定数
2012/01/17 10:14
「問題解決」重視の教育は現場の教師を混乱させたのだと思います。
だから教師用指導書の必要性が高まったのだと思います。

ところで『政策論争のデタラメ』 (新潮新書:2009年:市川眞一:著)の教育の項を読むと、文科省が無責任な張子の虎だということがわかります。
おおくぼ
2012/01/17 10:21
http://komachi.yomiuri.co.jp/t/2004/0607/002209.htm?o=0&p=0
小町での請求書 数量×単価 騒動のトピ主のコメント
▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽
以前「金八先生」で
ウサギの猟をしているお父さん、子供は毎日お父さんが持ってくるウサギの耳を数えていました。
今日はウサギが4羽で 
2×4=8でウサギの耳は8本。
ある日は吹雪でお父さんはウサギが取れなくて0羽
だから
2×0=0
それまで0にはなにを掛けても0ということは知っていましたが、武田鉄也が
「なぜ2×0が0になるんですか。2という数字があるじゃないですか」
といわれて生徒が答えられずにいました。2×0=0という答えは知っていても、なぜなのかは考えなかったからだと思い、この番組見てよかったと思いました。
△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△
積分定数
2012/01/17 10:24
 このトピ主が典型だけど、「順序は考え方重視、順序無視は考え方軽視」という人は、

 自分自身がルールを暗記してきた。ところが「意味が大切」と言われて、「そうだったのか!」を目覚めてしまう。

 意味は大切なんて言われるまでもなく分かっていて、だからこそちゃんと理解し出来て、「順序はどうでもいい」と思っている人が多数いるのに、

 そういう人が「目覚める前の自分と同じ」と見てしまう。

 ありがちなパターンだと思う。
積分定数
2012/01/17 10:28
小学校の掛け算の「正しい順序教育」の最大の謎は、教師用指導書の作られ方だと思う。
私の仮説は、大学の教育学部の先生(院生も含む)が、現場の有名教師と協力して作っているなんだけど。
おおくぼ
2012/01/17 10:53
>センター試験、自己採点したが数学が相変わらず得点できない。教える立場としてはまずいのだが、結局、理屈は難しくないけど計算量が多くて、焦ってしまう。あれは数学の力を測ることになっていない。

受験数学はどのくらい役に立つのか?という疑問があります。

参考
『崩壊する日本の数学―入試数学の弊害と再生へのプロセス』 (桐書房:2000年)
渡部由輝:著
渡部さんは『数学は暗記科目である―数学コンプレックスを吹きとばせ! 』(原書房:1984年)の著者でもあります。

『食える数学 』(ディスカヴァー・トゥエンティワン:2010年)
神永正博:著
神永さんは統計学の啓蒙書の多い先生です。
おおくぼ
2012/01/17 11:41
『政策論争のデタラメ』 (新潮新書:2009年:市川眞一:著)から。
以下引用
そもそも、国の教育の根幹たる学習指導要領の策定が、非常勤の「有識者」の集まりである中央教育審議会に委ねられているのが不思議でならない。
     略
現実問題として、必ずしも教育の専門家でない「有識者」の集団が、学習指導要領の具体的な答申をまとめるのは不可能に近いと推測される。
結局、多くの部分は、文科省の官僚が書き、それを有識者が追認するかたちではないだろうか。
加えて、委員の人選は所管省庁に委ねられているのだ。
選考の段階で、当該の役所にとって好ましからざる見解を持った人物が、その審議会の多数を占めるとは思えない。
とどのつまり、中教審とは、教育に対する国民への責任を曖昧にするための、政治家や役人の隠れ蓑に過ぎないのではないだろうか。
こうした無責任な制度を続ける限り、日本の教育が真に改善されることを期待するのは難しい。
常に言い逃れの道を残している組織や人物が、高い成果を達成したのを見たことがないからだ。
108頁〜110頁
おおくぼ
2012/01/17 21:07
積分定数さん:
>カニは全部で何匹?

がーん。
と言うことは
 「ネット右翼は、右翼ではない」
 「『白馬は馬にあらず』ですね、分かります。」
などという事も、うかつに言えないですね。

Mさん:
>うさぎの耳同士や、同じ皿に載っている、

いやそこは、
 「同じ個体に付属している耳同士」
と言っていただかなくては。
ゴルゴ・サーディーン
2012/01/17 21:39
> 「『白馬は馬にあらず』ですね、分かります。」

理科的な正確さの話題なので、タラバガニはヤドカリの仲間でカニではないという話かと思いました。
zorori
2012/01/18 06:23
zororiが正解です。
シロアリが蟻でない、とか、ヤツメウナギは鰻でないどころか、魚と言えるかどうかもあやしい。ヌタウナギに至っては、背骨がない脊椎動物。

算数の問題は、明確でないとまずいですね。正方形は長方形か否か、バナナはおやつか否か、曖昧なら解釈で答えが変わる出題はまずい。
積分定数
2012/01/18 08:06
 そういえば、中教審委員で反順序派の方がいたようですね。

>こうした無責任な制度を続ける限り、日本の教育が真に改善されることを期待するのは難しい。
常に言い逃れの道を残している組織や人物が、高い成果を達成したのを見たことがないからだ。

これは、「順序」について調べ、市教委と話し合いをしたときにつくづく感じた。

センター試験も改善点が多々あるが、運営する側は改善しなくても特に困らないから、改善する方向に行かないだろうな。

 数学に関しては、算数と同様の問題点があることに気づいた。

 記述式だと、考え方が読みとれるとか、計算間違えで結果が違っても「考え方が分かっている」ということで、部分点がもらえる。

 一方、最終的な答えだけを書く形式のメリットもあるはず。

 例えば確率・期待値は、ちゃんと理解していれば数秒で解けるが、「ちゃんと計算過程を書け」となると、「馬鹿の振り」をしないとならない。

10本のうち、3本があたり。1本ずつ引く場合、5番目の人があたりを引く確率は?

場合分けなんか要らない。3/10とすぐに分かる。

まとめて5本引いた場合に、あたりの本数の期待値は?

当たり1本の確率 2本の確率 3本の確率 を求めることは不要。1本引いたときに3/10本が当たりと考えたら、3/10×5=3/2

 だから、答えだけ書かせることで見極められる能力もある。ところがセンターはその利点を生かすのではなく、思考過程を見ようとしてなのか、誘導問題にしてしまっている。あれが煩わしい。
積分定数
2012/01/18 08:23
 確率は端的に答えを出すだけだが、数列は漸化式を示されて、「この数列を求めてみよう。まず、・・・」と誘導される。その誘導に乗らないとならない。

 試行錯誤して考えるようになっていない。


算数もそう。思考過程は人それぞれで、どう考えたかを児童が表現するのも、教師がそれを理解するのも難しい。答えが正しければ、思考過程も正しいのだろうと推測する以外ない。

 にもかかわらず、無理に思考過程を見ようとするから、「かけ算の順序」などという話になってしまう。
積分定数
2012/01/18 08:24
「ドラゴン桜」に書いてあったことでどれほど本当か分からないが、センター「数学」が、易しい問題が大量にあるという形式になっているのは、平均点を6割りに安定させるためらしい。

 本来なら、易しい問題や難しい問題を織り交ぜて、実力に比例した得点をとり平均が6割、というのが望ましい。

 しかし、それが難しいという。受験生みんなが出来る問題と、ほとんどが出来ない問題の中間、5割が出来て5割が出来ない、とかそういう問題がなかなか作れない。

 それでは、全員が出来る問題を6割、全員が出来ない問題を4割、とすればいいのか?平均得点率はめでたく6割だが、全員が6割得点ではテストの意味がない。

「6割りが中心のなだらかな正規分布」にするための方法が、易しい問題が大量

 数学科や物理科志望の受験生なら、時間をじっくり掛けて計算ミスがなければ解ける。でも時間制限があるから、ミスなどの些細なことで点数が取れない場合がある。

 個人にとっては、たまたま調子が悪いと得点できないとか言う具合にぶれが生じるが、全体で見たら、確率の大数の原則で、ぶれは小さくなる。
積分定数
2012/01/18 08:48
>zororiが正解です。

すみません。敬称付け忘れました。

zororiさんが正解です。
積分定数
2012/01/18 08:50
>個人にとっては、たまたま調子が悪いと得点できないとか言う具合にぶれが生じるが、全体で見たら、確率の大数の原則で、ぶれは小さくなる。

センター試験を年二回実施して、受験者が得点の高い結果の方を選べる方法にすればいいと思います。
おおくぼ
2012/01/18 12:53
複数行う案はあるようですが、結構大変かも。
 大検みたく、資格試験にするとか。年に何回も小規模なのが行われていて、一度とった科目は永久に使えるみたいな。

実施する方も大変だと思う。今回の、地歴・公民騒動など、受験生がかわいそう。
積分定数
2012/01/18 13:25
>実施する方も大変だと思う。今回の、地歴・公民騒動など、受験生がかわいそう。

TOEFLやTOEICは年間にかなりの回数を受験できます。
おおくぼ
2012/01/18 13:34
>大検みたく、資格試験にするとか。年に何回も小規模なのが行われていて、一度とった科目は永久に使えるみたいな。

大検は年二回なんですね。

センター試験の順位で入学人数を制限するなら、資格試験制度では無理ですね。
定員割れの大学なら問題ないでしょうけど。
おおくぼ
2012/01/18 13:41
だから、2次試験受験資格にすればいいと思います。物理科や数学科志願者がセンター数学・物理が分からないと言うことは基本的にないが、でもケアレスミスで差がつく。私自身、去年は物理100点だったけど今回はミスで80点台だった。

 実力をきちんと測れないんだから、資格試験にすればいい。そうすれば、多少トラブルがあってもぴりぴりすることはないと思う。
積分定数
2012/01/18 16:36
かつて、東西冷戦というのがあって日本は西側陣営にいたとか、人間は哺乳類で、哺乳類は爬虫類から進化した、だとか、そういう専攻に限らず常識として知って置かなくてはならない基本事項がある。「かけ算に順序はない」とかも。

 現状だと、理科で「物理」を受ける場合、人間が哺乳類に属することを知らなくても関係ない。

 一方、受験科目であれば、重箱の隅をなでるように勉強することになる。「日本史」を受験するなら、「アラブの春」の記事なんか読んでいる時間はない。オバマが民主党か共和党か知らなくても構わない。

 これはまずいと思う。
積分定数
2012/01/18 16:41
2次試験受験資格試験、普通に勉強して普通に新聞読んでいれば分かるような問題、特別な勉強は不要。合格点に達したらそれでいい。満点も8割り得点も関係ない。

 点数を競うのは2次試験。そこで専攻分野の能力を見ればいい。
積分定数
2012/01/18 16:46
冬に試験しない方がいいと思う。
大雪が降れば、交通に支障がでる。
冬場はインフルエンザが流行しやすい。

また年に複数回の試験を行えば、どこかで支障が出ても他の試験が代わりになる。
おおくぼ
2012/01/18 18:16
>だから、2次試験受験資格にすればいいと思います。

点数制でないと、各大学の受験資格が同じになってしまいます。
人気の集中する大学と定員割れの大学が同じ受験資格だと、2次試験資格の意味がなくなると思うのですが・・・。

また高卒や大検合格の受験資格の意味はどうなるのでしょう?
おおくぼ
2012/01/18 19:03
センター試験の必要性がよくわからない。
二次試験の人数を絞り込む必要がない大学は、必要ない気がする。
二次試験がなく、センター試験の成績だけで入学を決定する大学は必要だけど。
おおくぼ
2012/01/18 21:46
センター試験だけで合否判定なんて…

そんな大学は存在しないほうがいい。


大学入試センターの存在意義ってなんでしょう。

もともとは、競争率が異常に高かった時代に難問奇問が続出する事態になったので、それを是正するためにできたんだと聞いたことがありますが。

いまはそんな時代ではないし、センター試験じたい愚問だらけ。

存在意義に疑問を感じる。

鰹節猫吉
2012/01/18 23:14
訂正

>二次試験がなく、センター試験の成績だけで入学を決定する大学は必要だけど。

二次試験がなく、センター試験の成績だけで入学を決定する大学には必要だけど。

「大学」と「は必要だけど」の間に「に」が抜けていました。
失礼しました。

わかりやすく書き直すと・・・
センター試験は、二次試験がなくてセンター試験の成績だけで入学を決定する大学には必要になります。
おおくぼ
2012/01/18 23:31
訂正の補足

二次試験の人数を絞り込む必要がない大学は、「センター試験が」必要ない気がする。
二次試験がなく、センター試験の成績だけで入学を決定する大学は「センター試験が」必要だけど。

大学の後に目的語としての「センター試験が」を補って読んで下さい。
おおくぼ
2012/01/18 23:59
>理科的な正確さの話題なので、タラバガニ
>はヤドカリの仲間でカニではないという話
>かと思いました。

 それを判ったうえで言っているのですが…
 判っていると言っても、前から知っていた
のではなく、昨日の書き込みの前に検索して
知りました。
 「タラバガニは蟹じゃないんだって」
  ↓
 「ガーン!!」
というわけです。

 さて、そうなると
 「白馬は馬ではない」
 「白蟻は蟻ではない」
というのは、字面では同じような事を言って
いるようで意味はまったく違うのですね。

さらに、
 「では、白熊は熊か?」と考えて、検索し
て、考え込んでしまいました。
 私達は、動植物の呼び名についてどうすれ
ば理科的に正しいのかを知らないのかも知れ
ません。本当に、迂闊なことは言えません。
ゴルゴ・サーディーン
2012/01/19 00:26
辰年ということで…


龍のエサは白馬なので、白馬を餌にして釣りをすると、龍が釣れるなんて話もありますね。


本当か嘘か?

龍じたい架空の動物ですが…

鰹節猫吉
2012/01/19 00:40
wikiより
>大学共通第1次学力試験
>導入の経緯および経過 [編集]共通テストの構想は1960年代以降文部省やその周辺から発案されていた。1970年代に入って政府および与党の推進により実現する運びとなり、国立大学協会の賛同を得て、入試問題の難問・奇問の出題をなくし「入試地獄」を緩和するという目的で導入が決定された。

難問奇問を排しても、そこで点数を競うのであれば、ケアレスミスの有無など、競争の争点が移るだけのことである。

また、ある目的のためにある手段が行使された場合、その目的が達せられているのかどうかフィードバックする必要がある。

 でも、「かけ算の順序」と同じで、一度導入されたら、存続させること自体が目的となる。
積分定数
2012/01/19 11:57
 動植物の名称もややこしいけど、それとは別にDNA解析技術の進歩で、実は形態的分類が進化の道筋と一致しない例が色々発見されているらしい。収斂進化が事態をややこしくしている。

ハヤブサは鷹・鷲よりも雀に近い
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%83%A4%E3%83%96%E3%82%B5%E7%A7%91
ハヤブサ科は単型のハヤブサ目に分類され[3][4][5]、ハヤブサ目はおそらくスズメ目+オウム目と姉妹群である[6][7]。
>伝統的に、昼行性猛禽類のハヤブサ科・タカ類(タカ科など)・コンドル科は同じタカ目 Flaconiformes に分類されてきた。しかし、形態・分子双方から疑問が呈され、ハヤブサ目 Falconiformes(ハヤブサ科のみ)とタカ目 Accipitriformes(タカ類とコンドル科)に分離された。ハヤブサ目はタカ目と異なり、鉤爪が小さく比較的大きさがそろっており、この比率は生態が大きく異なるスズメ目とほぼ同じである[7]。

それから、単系統という考え方だと、爬虫類も哺乳類も全部、魚類とするのもありえる。

受験英語でおなじみの鯨構文=「馬が魚でないのと同様、鯨は魚ではない」

単系統の考えでは、馬も鯨も魚?
積分定数
2012/01/19 12:14
センター試験の存在意義を考えると、大検の存在意義というのも不思議に思う。

中卒では大学受験資格にならないわけです。
おおくぼ
2012/01/19 12:22
龍に関しては、高校時代、漢文の解説書の「逆鱗」の説明で、「龍という爬虫類は・・」とあって「龍は爬虫類なのか!?」と思った記憶があります。鯉が滝に登っているうちに進化するのでしょうね。

想像上の動物ネタがらみで、数学セミナー増刊「数学100の慣用語・数学地方のおもしろ方言」に、「射影」の面白い説明がありました。筆者も漢和字典を見て驚いたと書いています。検索したらありました。

http://wagang.econ.hc.keio.ac.jp/zigen/041.xml
【射影】 セキエイシヤエイ 
蜮 イサゴムシ といふ三足ある怪蟲、水中に在りて沙を含み人の影を射る、射られし者は傷病すといふ〔詩、小雅何人斯、注〕=射工&middot;短狐。

「イサゴムシ」は、釣り餌に使う川虫の名称が先なのか、この想像上の虫の名称が先なのかは不明。
積分定数
2012/01/19 12:25
>競争の争点が移るだけのことである。

競争の焦点が移るだけのことである

大検は今は、高認になっていますね。
積分定数
2012/01/19 12:30
高校生は、大検に合格しないと卒業できないようにしたらどうだろうか?

高卒の最低レベルは上がると思うんだけど。
おおくぼ
2012/01/19 18:10
経済学者・田中秀臣さんのブログから

http://d.hatena.ne.jp/tanakahidetomi/20120117

>センター試験の監督で消耗はなはだしい。受験生にはいろいろ不満があるだろうけど、やはりセンター試験の監督マニュアルもゼロリスクを目指すあまり複雑怪奇なものになっていてすでに常識的には破たんは目前。それでも各大学がやめないのは試験の会場・監督提供がもうかるから=学生の潜在的損失あり

>こんな中央集権的なやり方(センター試験)が経済的な非効率性を生み出し、さらにそれをゼロリスク宗教(マスコミなど)が加速化させている中では、センター試験は基本的に廃止して各大学が独自入試をしたほうがぜったいに受験生にもいい(安上がり)&大学の教職員にもいい。

>冗談に近いが、センター試験のこの試験制度の複雑化と膨大なマニュアルとゼロリスク信仰をあわせると、すでに「センター試験を監督するための試験」が必要なレベル。まさにミニソ連みたいな感じ。大学入試センターは即刻完全廃止。独自入試導入がベスト。
おおくぼ
2012/01/20 20:28
センター試験の監督はマジ消耗します。センター試験監督のごとき仕事を増やすのは正直勘弁して欲しい感じ。減るなら大歓迎。もっと悲惨なのはセンター試験の数学の問題を作る(秘密の)お仕事にあたってしまうことです。
くろきげん
2012/01/20 23:19
>それでも各大学がやめないのは試験の会場・監督提供がもうかるから

もうかるの!?

>センター試験の監督はマジ消耗します。

 ご苦労様です。受験する側から見ても、大変だなと思ってしまいます。秘密のお仕事も大変そう。受験する側も大変で、数列やベクトルの問題、途中で解答欄に合わなくなってきて、「どっかで計算間違いしているな・・」と泣きたくなる。去年は、しばらくやってから「あれ、得意な確率がないのはなぜ?」と思って、「げっ、これ数1Aじゃなくて、数1じゃん」と気づき愕然。リアル受験生だったら泣いただろうな。

 ケアレスミスで数点落とすとかならまだしも、そういうことで失敗する人も多いだろうな。

>やはりセンター試験の監督マニュアルもゼロリスクを目指すあまり複雑怪奇なものになっていてすでに常識的には破たんは目前。

これも納得できる。資格試験にすれば、多少不手際があって、時間がずれたりしてもそんなにぴりぴりする事ないと思うし、受ける側も多少のケアレスミスなどどうでもいいとなる。

 センターに限らず、入試制度がややこしい。私立大学なんか、いくつ入試をやるのかと思うぐらい複雑怪奇。ミスが出てくるのは必然だと思う。

 もう少しスリムですっきり出来ないものかと思ってしまう。
積分定数
2012/01/21 01:37
 センター数学、計算スペースが圧倒的に足りない。条件はみな同じだろうが、数学の実力が反映するようにしてほしい。マークシートだから、フェルマーの真似もできない。
積分定数
2012/01/21 01:40
大学進学率は上がっていますが、少子化の影響で入学者数は頭打ちです。
短大と4年生大学を合した入学者数のピークは、1992年ぐらいです。
そのため定員割れの大学の担当者は、入学希望者を集めるのに、高校を回ります。
人気のある大学と定員割れの大学では真逆の状態です。
そして定員割れの大学は増えつつあります。
日本の大学は国からの補助金と学生が出す学費に頼っているので、定員割れは補助金が削減されるので二重に厳しくなるわけです。

アメリカのハーバード大学などは、寄付金の学が圧倒的に大きく、国からの補助金や学費への依存度は低いです。
日本のトップ・レベルの大学は、寄付金で経営できるようにならないと独自色を出すのが難しい気がします。

参考
『科学技術は日本を救うのか』 (DIS+COVERサイエンス』
北澤宏一:著
おおくぼ
2012/01/21 07:44
日本は寄付(特に高額の)をする習慣があまり無いので、寄付で経営を維持するのは現状では難しいのではないかと。政府も自転車操業的な政策しか考えておらず、将来に投資する気はないようだし…今後厳しいですね。
M
2012/01/21 11:23
定員割れの大学はいっそ試験なしにして、希望者が多い場合は抽選にするとかどうでしょう:p 学力は問わないので教育レベルは下がることになりますが、入学する方もそれは承知ということで。 <何のための大学だろう?
M
2012/01/21 11:32
 企業などからの寄付となると、癒着が心配。あと軍事関係とか・・・
積分定数
2012/01/21 13:12
このコメント欄の冒頭に転載した、素晴らしい日記を書いた、東海地区数学教育協議会元委員長の渡辺靖敏氏のサイトから
http://www5b.biglobe.ne.jp/~nabe2051/sannsuu/sannsuu.htm

これをよむと、「1あたり量」で教えると子どもの理解がスムーズに進むというよりは、「1あたり量」を教えることは自明な大前提で、それに苦労しているようにも見えてしまう。

 「1あたり量」って、そんなに重要?

3時間で180q 6時間では? 2倍で360q
4時間では? 1時間では60qだからその4倍

「1時間では60q」という部分で「1あたり量」らしきものを出しているがそれは後から見える。この問題を解くときに「1あたり量は何かな?」などとは考えない。

原理に立ち返り、思考を組み立てれば自ずと求まる。それを促すようにするのが、教える側の努めだと思う。

 「1あたり量」というのは余計な概念な気がする。

3時間で180q 6時間では? 4時間では?

この問題は、一定の速さで走ると言うことさえ抑えておけば出来る。時速などを習っていなくても解答可能。 
積分定数
2012/01/21 13:36
豚コマ100g120円  
300g買うときに、1gあたりを出してから300倍するだろうか?
積分定数
2012/01/21 13:38
かけ算コミュでの鰹節猫吉さんの発言
>そもそも1あたりいくつ分は 負の数×負の数 に拡張することすら容易ではない。
流速一定の流体の問題でも持ち出して、流れの向きに正負を決めて時間を巻き戻したときに流れた体積を求めるとかやればできないことはないが、特殊な問題で説明せざるを得ないのは非常に苦しい。

を受けての私のコメント。


虚数まで言ったら完全に破綻しますよね。

 あと行列も。順序派がよく「セキハイッパンニハカカンデハナイ。ギョーレツトカイウノモアルラシイ」などというが、行列こそ(1あたり)×(いくつ分)で押し通すことが無理な例。

 行列の積は、「積」と名前が付いているが、便宜的なもので積とは関係ない

と思っている人もいるかも知れないが、それは違う。

行列の積は、線型写像の合成に対応している。線型写像とは比例概念の拡張。行列とは比例定数のこと。

yがxに比例し、比例定数が3
zがyに比例し、比例定数が2

そうすると、zはxに比例し、比例定数は3×2=6

3倍して2倍したら6倍、ということであって、むしろ、全てを「倍」でとらえる考え方の方がなじめるかも知れない。

時速4qで5時間歩く。

時速1qで1時間歩く場合の、4倍の5倍 という捉え方。


 高校生で化学のモル計算が苦手な子が多い。それでも教えれば、物質量が2倍なら質量も2倍というのは感覚的に分かるようになる。物質量が等しくて、分子量が2倍だと、質量が2倍とはすんなり行かないようだ。

 縦にも横にも自在にのばせることが望ましいのだが。

全ての量を、「基準量の何倍」ととらえたら、等分除だの包含除だの1あたり量だのという余計な概念は消え去ってしまう。
積分定数
2012/01/21 16:09
こっちのコメントも参考までに

 中学の幾何の問題で、星形とかあって角度が書いてあって、ここの角度を求めよ、というありがちな問題で、どこぞの塾が、パターン分けして、「なんとかスター型」とか名前を付けていると聞いて、「あほか!」と思ったことがあるが、子供だましで子どもは騙されちゃうものなのかと思った。

3用法だの、掛割図だのをさんざんやった子に

1辺が30pの正方形の板の質量が180gである。この板を切って、1辺が20pの正方形を作った場合、質量は?

 とやったら、120gと答える子が続出する予感がする。

 「みはじ」や「さくらんぼ計算」と本質的には同じで、教師がマニュアルを提示して、それに当てはめているだけじゃないのかと思ってしまう。

 子ども自身が原理に立ち返り試行錯誤しながら、仕組みを理解していくのが本来のあるべき姿だと思う。

 「便利な方法」を提示すると、ちょっとひねった問題には対応できないし、中学・高校ではついていけなくなると思う。また新しい概念を導入する度に、マニュアルを提示しなくてはならなくなる。

 算数・数学の面白さは、そのようなマニュアルを習得することではないと思う。


TOSSにしろ水道方式にしろ、教える側がマニュアルを欲しているようにも見えてしまう。教える人自身が、算数・数学を試行錯誤しながら自分自身で理解するということがなかったのではないだろうか?

積分定数
2012/01/21 16:21
モルの計算で、物質量が同じで分子量が2倍なら質量も2倍というのは、

各自がもらう蜜柑の個数が2倍なら、全体の量も2倍というのに対応している。

積は縦にも横にも比例する。あ・た・り・ま・え!
積分定数
2012/01/21 16:35
 こういう当たり前の感覚を持たないように一生懸命教え込んでいるのが、

「かけ算の順序」や(1あたり)×(いくつ分)、内包量・外延量ではないかと思えてしまう。
積分定数
2012/01/21 16:36
 私のコメント、比例定数は単位なしと言っているように見えるから、補足。

 電流は単位時間あたりの電荷、
だから、電荷=電流×時間 で、電流は比例定数といえる。

 電圧は単位電荷あたりのエネルギー だから、電圧は比例定数といえる。

 そうすると、

エネルギー=電圧×電荷=電圧×(電流×時間)

となるけど、じゃあ、電力=単位時間あたりのエネルギー=電圧×電流はどう解釈するのか?

電圧を、単位電流あたりの、(単位時間あたりのエネルギー)とでもするのか?

電荷が時間に比例していて、電流が比例定数
エネルギーが電荷に比例していて、電圧が比例定数

だから、エネルギーは時間に比例していて、比例定数は電圧×電流

yがxに比例し、比例定数が3
zがyに比例し、比例定数が2
そうすると、zはxに比例し、比例定数は3×2=6

というのと同じ事。比例定数同士のかけ算を考えた場合、これを(1あたり)×(いくつ分)と無理に考える必要はない。

 ちなみに、単位付きの行列としては慣性テンソルなどがある。
積分定数
2012/01/21 17:20
 小学校算数の一部だけに限定するからありもしない似非概念があるかの如く取り繕うことが出来る。とはいえ、所詮似非概念だから、ちょっとつつくとボロが出る。

 それでも、「算数と数学は違います」「発展段階が・・・」だの、子どもへの愛情だのまなざしだの、なんやかんやでこのほころびを覆い隠そうとする人がいる。

 そしてその企てが成功しているのが悔しい。

 オッカムの剃刀で大掃除が必要。
積分定数
2012/01/21 17:25
黒木玄さんの紹介しているツイッター

https://twitter.com/#!/C_YAN_tw/status/160585463751647233

>乗算の可換性の無視、とか言い出したら小学生は負の数無視だし中学生は虚数無視だし。
>カリキュラムの問題と数学的な正しさの問題を混同してないか、この手の議論は。

混同していません。
負の数や虚数を無視しても矛盾は生じない。
乗算の可換性を無視しているのではなく、乗算の可換性と矛盾することを教えていることが問題なんですが。
でも負の数は便利なので、小学校でも教えた方がいいと思う。
おおくぼ
2012/01/21 18:43
普通は「行列こそ(1あたり)×(いくつ分)で押し通すことが無理な例」と考えるのですが、数教協的には「高次元の正比例」というのがあって、「行列×縦ベクトル」をそのまま「1あたり×いくつ分」の拡張とみなすという話があるようです。

個人的に少なくとも大学ではそんな風には教えないと思っていたのですが、Google Books で「多次元 "正比例"」を検索すると、数教協の小林道正著『試験で点が取れる大学生の線形代数』という本が見つかります。Google Books で中身も読めるので興味のある人は検索してみて下さい。

いやあ、この話は本当にびっくりすることばかりだ。

P.S. ぼくが子どものときにもあった「もとにする量」「比べる(比べられる)量」という言葉は今でも生き残っているんですね。ぼくはそれらの言葉を教わったときにどうしてそういうわかりにくい言葉を覚えなければいけないのだろうと素直に思っていたことをついさっき思い出しました。
くろきげん
2012/01/21 19:00
>乗算の可換性の無視、とか言い出したら小学生は負の数無視だし中学生は虚数無視だし。
>カリキュラムの問題と数学的な正しさの問題を混同してないか、この手の議論は。

https://twitter.com/#!/C_YAN_tw/status/160572238909804544
>かけ算問題再び。しかし、みなさま算数の一部だけ見て騒いでませんか。問題は数学的な正しさではないのですけれど。先生はかけ算だけを教えているのではありませんぜ。

この手の半可通は、まずかけ算の順序議論の概略をざっと見てから発言して欲しい。何周遅れの話をしているのやら・・・

>乗算の可換性の無視、とか言い出したら小学生は負の数無視だし中学生は虚数無視だし。

「扱わない」という話と、「成り立つのに無視している」は違うだろうが・・・
積分定数
2012/01/21 19:39
>数教協の小林道正

いまの委員長ですね。沢山本を出しているようですね。
http://bookweb.kinokuniya.co.jp/htm/4344902270.htmlこれなんか表紙絵は弘兼憲史かな?

とほほな「知的日記」を書いている渡辺靖敏氏との共著も多い。

そういえば、遠山啓は、ベクトルを矢印ではなく、多次元の数字として導入したらどうかと提案していた。理由は、累加でなく(1あたり)×(いくつ分)と同様。最初に矢印で導入するとそれに縛られてしまうという。

 私は、矢印でイメージを掴んでから、抽象的な線型空間というのも趣があっていいと思うが。数列や関数が、ベクトルで矢印、というカルチャーショックが面白い。「固有ベクトルというのは、線型写像に関して、“向き”を変えないベクトル」という比喩も、矢印のベクトルのイメージがあるから使える。

 まあどっちでもいいけど、

瀬山士郎氏
http://homepage2.nifty.com/seyama/
6×4を正当化するために乗法の交換法則を持ち出すのは、方向違いだと思う。それは多次元量の正比例を考えればすぐに分かることである。交換法則は意味のある数値に適用することはできない。交換するとすれば、意味まで含めて交換する必要があると思います。

という発言も考えると、数教協にとっては、何か重要な意味があるのだろうか?

「すぐわかる」というが私にはサッパリ分からない。

積分定数
2012/01/21 20:04
>「もとにする量」「比べる(比べられる)量」という言葉

「くもわ」で出てきますね。600円の2割を求めるのに、そんなにややこしいこと考えないと思う。2割というのは全体を10としたときの2という原理をちゃんと理解して、それを手がかりに求めればいいだけのこと。
積分定数
2012/01/21 20:11
算数教育ワールドでは「等分除」と「商と余りを求める割算」の相性の悪さがときより語られているような感じがしますが、等分除的状況で余りを考えるのは日常生活では普通にやっていることだと思うのですが、そこら辺もどうなんですかね?

「25個のおかしがあって4人の親戚の子どもに平等に配りたい」のような場面は普通にあると思います。そして子どもは自分に親切にしてくれる大人のやることをよく見ている。
くろきげん
2012/01/21 20:46
小学校学習指導要領解説 58頁〜59頁

http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2009/06/16/1234931_004_1.pdf

(ア)式からそれに対応する具体的な場面を読む。
(イ)式の表す事柄や関係を一般化して読む。
(ウ)式に当てはまる数の範囲を,例えば,整数から小数へと拡張して,発展的に読む。
(エ)式から問題解決などにおける思考過程を読む。
(オ)数直線などのモデルと対応させて式を読む。
このような式について,第1学年では,加法及び減法が用いられる場面を式に表した り 式 を 読 み 取 っ た り す る こ と を 指 導 す る 。
例 え ば ,「 3 人 で 遊 ん で い る と こ ろ に 4人 来 ま し た 。」 と い う 場 面 を , 3 +4 の 式 に 表 す な ど の 指 導 を し て い る 。
し か し , こうした式は計算をしてすぐに一つの数になってしまうことから,3+4という式が具体的な事柄を表しているという見方がしにくいことがある。
結果を求めることだけに終わるのではなく,式の表す意味に注目できるような配慮が必要である。
おおくぼ
2012/01/21 21:55
続き。
こっちの解説の方が深刻だ!

http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2009/06/16/1234931_004_2.pdf

足し算と引き算の教え方の応用が、掛け算の文章題からの立式における正しい順序教育になっているみたいですね。
おおくぼ
2012/01/21 22:13
あまりがある割り算は、等分除よりも包含除の方がイメージし易いというのは分かる気がする。ただ、元の問題が何であれ、等分除と包含除が同じと言うことが分かっていれば、20個のお菓子を6人に分ける場合、包含除の方が考えやすければ、そう考えればいいだけのことが気がする。

 800個のあめ玉を2個ずつ分けたら何人に分けられるか?

800÷2=400 イメージとしては800を2分割。

800個のあめ玉を400人で分けたら何個ずつ?

800÷400=2

計算のイメージは800は400いくつ分か?としている。


相対的に、○÷△の○が大きく△が小さいと等分除、○が小さく△が大きければ包含除のイメージの方が計算しやすい。

 どちらも同じ事だから、元の問題とは独立に計算はやりやすい方で出来る。

 かけ算の順序を研究するようになって、数学や物理では使わない、等分除や包含除という言葉がすっかり馴染んでしまった。
積分定数
2012/01/22 00:11
>20個のお菓子を6人に分ける場合、包含除の方が考えやすければ、

こういう場合、20個をいきなり6分割するのは難しくて、6人に1個ずつ、2個ずつ、とカード配りで包含除に転換して計算することになる。
積分定数
2012/01/22 00:30
> カード配りで包含除に転換して計算することになる。


カード配りだの包含除だのを全く知らなくても、そういうふうにしますね。

1あたり と いくつ分 の区別とか 包含除 と 等分除 の区別など、あやふやなもので、「気のせい」 だと言えます。

鰹節猫吉
2012/01/22 01:20
>カード配りだの包含除だのを全く知らなくても、そういうふうにしますね。

全く同感。

 ごくごく自然に身につけることであっても、逐一分析する、

 という作業は、教える上では必要かも知れないが、

 算数教育ワールドにおいては、それらを意識的に注入しないとならないと思っている節がある。

 3用法だの、内包量だの外延量だの、そんなに知らなくて何も困らない。

 そこを大前提とした上で、分からない子に「こういう方法もあるよ」と提示するならまだしも、なんだか分からないごちゃごちゃした概念を一律に押しつけるのは有害。

 そもそもごちゃごちゃした概念だから、分からない子に教えるのが有効なのか?という疑問があるが。
積分定数
2012/01/22 07:03
>カード配りだの包含除だのを全く知らなくても、そういうふうにしますね。

全く同感。

 ごくごく自然に身につけることであっても、逐一分析する、

 という作業は、教える上では必要かも知れないが、

 算数教育ワールドにおいては、それらを意識的に注入しないとならないと思っている節がある。

 3用法だの、内包量だの外延量だの、そんなに知らなくて何も困らない。

 そこを大前提とした上で、分からない子に「こういう方法もあるよ」と提示するならまだしも、なんだか分からないごちゃごちゃした概念を一律に押しつけるのは有害。

 そもそもごちゃごちゃした概念だから、分からない子に教えるのが有効なのか?という疑問があるが。
積分定数
2012/01/22 07:05
2重投稿になってしまった。まあもう終わりだからいいや。

コメント欄 4代目 つくりました。
http://suugaku.at.webry.info/201201/article_1.html
積分定数
2012/01/22 07:08

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